7自招 第11讲 全等三角形综合(一)(教师版).docxVIP

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PAGE6/自招体系7年级教师版第11讲

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第十一讲

全等三角形综合(一)

全等三角形综合(一)

【重点】:①熟练掌握三角形全等的四种判定公理(或定理);

②熟练角平分线、垂直平分线、中点模型、截长补短、三垂直模型等的辅助线添加;

③熟练通过平移、翻折、旋转的方法添加辅助线构造全等;

【难点】:①全等三角形的性质和判定定理的灵活运用;

②结合题目条件,添加适当的辅助线以利于证明.

如图,在中,,于,且,则的大小是________.

全等辅助线秘籍(一)

★★(等腰三角形)

⑴已知等腰的三边长、、均为整数,且满足,则这样的三角形共有________个.

⑵若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等,则这两个三角形第三边所对的角的关系是________.

⑶在下列三角形中,若,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是().

①②③④

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

⑴个,,

⑵相等或互补

①当这两个三角形同是锐角、直角或钝角三角形时,可以证出第三边所对的角相等;

②当有一个是锐角三角形,一个是钝角三角形时,可证出第三边所对的角互补

★★(角平分线)

⑴如图,在中,与的角平分线交于点,若,,则的度数是________.

⑵如图,的外角的平分线与内角的平分线交于点,若,则________.

⑴在上截取,联结、,即点是的内心.

.又

,即

⑵过点作、、,联结.

平分平分

即平分又

(点为旁心.)

★★★(垂直平分线)

如图,在长方形中,,,、分别为、上一点,且,联结,作线段的垂直平分线,正好经过长方形的两个顶点、,试求的长.

联结,设,则

是线段的垂直平分线

在中,

即解得.

★★★(倍长中线)

如图,在中,是延长线上一点,,是延长线上一点,,若,求证:是直角三角形.

延长至点,使得,在上截取,联结.

易证,,

易证,,即是直角三角形.

★★★★★(截长补短or三垂直)

如图,等腰中,,,于,交于点;过点作于,交的延长线于.求证:.

法一:延长至点,令,联结.

由,易证,因此,

即,(等角的余角相等),即

易证.

(同角的余角相等)即

法二:过作垂线,交延长线于.

易证,故,即;

由,易证,因此,

故(等式性质),设;

易证,因此可证,

所以,故;

又易证,故(等角对等边),

所以,得证.

全等辅助线秘籍(二)

——图形运动

★★★(翻折)

如图,在四边形中,,.如果,求四边形的面积.

如图所示,以边上的中垂线为对称轴作的轴对称图形,

则,,,

故、、共线.又因为,

由可知,而,

故.因此.

故.

★★★★(旋转)

如图,在中,,,以为边在另一侧作等边.当变化时,求边的最大值及相应的的度数.

如图所示,将绕点逆时针旋转得到,联结.

可以证明,为等边三角形

在中,(当且仅当、、三点共线时等号成立)

且仅当、、三点共线时,

此时,即

当,边有最大值,为

如图,已知,为上一点,于,四边形为正方形,为射线上一动点,连结,将绕点顺时针方向旋转得,连结,若,则的最小值为.

联结,则可得

当时,取最小值,此时

∴的最小值为

求证:以任意三角形各边为边分别向外侧作等边三角形,则它们的中心构成一个等边三角形.

【拿破仑定理】

如图,将绕点逆时针旋转,得,联结,易证,

故可证,因此;又易证,

故,同理可证,故为等边三角形.

⑴邻补角是().

.和为的两个角..有公共顶点且互补的两个角.

.有一条公共边且相等的两个角.

.有公共顶点且有一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角.

⑵如图,如果,那么下列结论中:

①;②;③;④与互余;⑤;

正确的个数是()

个个个个

⑶直线、、在同一平面内,如果,,那么;如果,那么;如果,那么;如果与相交,与相交,那么与相交;在上述四种说法中,正确的有()

个个个个

⑴.

⑵①②③是正确的

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