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PAGE6/自招体系7年级教师版第11讲

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第

第十一讲

全等三角形综合（一）

全等三角形综合（一）

【重点】：①熟练掌握三角形全等的四种判定公理（或定理）；

②熟练角平分线、垂直平分线、中点模型、截长补短、三垂直模型等的辅助线添加；

③熟练通过平移、翻折、旋转的方法添加辅助线构造全等；

【难点】：①全等三角形的性质和判定定理的灵活运用；

②结合题目条件，添加适当的辅助线以利于证明．

如图，在中，，于，且，则的大小是________．

．

全等辅助线秘籍（一）

★★（等腰三角形）

⑴已知等腰的三边长、、均为整数，且满足，则这样的三角形共有________个．

⑵若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，则这两个三角形第三边所对的角的关系是________．

⑶在下列三角形中，若，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）．

①②③④

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

⑴个，，

⑵相等或互补

①当这两个三角形同是锐角、直角或钝角三角形时，可以证出第三边所对的角相等；

②当有一个是锐角三角形，一个是钝角三角形时，可证出第三边所对的角互补

⑶

★★（角平分线）

⑴如图，在中，与的角平分线交于点，若，，则的度数是________．

⑵如图，的外角的平分线与内角的平分线交于点，若，则________．

⑴在上截取，联结、，即点是的内心．

．又

,即

⑵过点作、、，联结．

平分平分

即平分又

（点为旁心．）

★★★（垂直平分线）

如图，在长方形中，，，、分别为、上一点，且，联结，作线段的垂直平分线，正好经过长方形的两个顶点、，试求的长．

联结，设，则

是线段的垂直平分线

在中，

即解得．

★★★（倍长中线）

如图，在中，是延长线上一点，，是延长线上一点，，若，求证：是直角三角形．

延长至点，使得，在上截取，联结．

易证，，

易证，，即是直角三角形．

★★★★★（截长补短or三垂直）

如图，等腰中，，，于，交于点；过点作于，交的延长线于．求证：．

法一：延长至点，令，联结．

由，易证，因此，

即，（等角的余角相等），即

易证．

又

（同角的余角相等）即

法二：过作垂线，交延长线于．

易证，故，即；

由，易证，因此，

故（等式性质），设；

易证，因此可证，

所以，故；

又易证，故（等角对等边），

所以，得证．

全等辅助线秘籍（二）

——图形运动

★★★（翻折）

如图，在四边形中，，．如果，求四边形的面积．

如图所示，以边上的中垂线为对称轴作的轴对称图形，

则，，，

故、、共线．又因为，

由可知，而，

故．因此．

故．

★★★★（旋转）

如图，在中，，，以为边在另一侧作等边．当变化时，求边的最大值及相应的的度数．

如图所示，将绕点逆时针旋转得到，联结．

则

可以证明，为等边三角形

在中，（当且仅当、、三点共线时等号成立）

且仅当、、三点共线时，

此时，即

当，边有最大值，为

如图，已知，为上一点，于，四边形为正方形，为射线上一动点，连结，将绕点顺时针方向旋转得，连结，若，则的最小值为．

联结，则可得

当时，取最小值，此时

∴的最小值为

求证：以任意三角形各边为边分别向外侧作等边三角形，则它们的中心构成一个等边三角形．

【拿破仑定理】

如图，将绕点逆时针旋转，得，联结，易证，

故可证，因此；又易证，

故，同理可证，故为等边三角形．

⑴邻补角是（）．

．和为的两个角．．有公共顶点且互补的两个角．

．有一条公共边且相等的两个角．

．有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角．

⑵如图，如果，那么下列结论中：

①；②；③；④与互余；⑤；

正确的个数是（）

个个个个

⑶直线、、在同一平面内，如果，，那么；如果，那么；如果，那么；如果与相交，与相交，那么与相交；在上述四种说法中，正确的有()

个个个个

⑴．

⑵①②③是正确的