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PAGE6/自招体系7年级教师版第11讲
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第
第十一讲
全等三角形综合(一)
全等三角形综合(一)
【重点】:①熟练掌握三角形全等的四种判定公理(或定理);
②熟练角平分线、垂直平分线、中点模型、截长补短、三垂直模型等的辅助线添加;
③熟练通过平移、翻折、旋转的方法添加辅助线构造全等;
【难点】:①全等三角形的性质和判定定理的灵活运用;
②结合题目条件,添加适当的辅助线以利于证明.
如图,在中,,于,且,则的大小是________.
.
全等辅助线秘籍(一)
★★(等腰三角形)
⑴已知等腰的三边长、、均为整数,且满足,则这样的三角形共有________个.
⑵若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等,则这两个三角形第三边所对的角的关系是________.
⑶在下列三角形中,若,则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是().
①②③④
A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④
⑴个,,
⑵相等或互补
①当这两个三角形同是锐角、直角或钝角三角形时,可以证出第三边所对的角相等;
②当有一个是锐角三角形,一个是钝角三角形时,可证出第三边所对的角互补
⑶
★★(角平分线)
⑴如图,在中,与的角平分线交于点,若,,则的度数是________.
⑵如图,的外角的平分线与内角的平分线交于点,若,则________.
⑴在上截取,联结、,即点是的内心.
.又
,即
⑵过点作、、,联结.
平分平分
即平分又
(点为旁心.)
★★★(垂直平分线)
如图,在长方形中,,,、分别为、上一点,且,联结,作线段的垂直平分线,正好经过长方形的两个顶点、,试求的长.
联结,设,则
是线段的垂直平分线
在中,
即解得.
★★★(倍长中线)
如图,在中,是延长线上一点,,是延长线上一点,,若,求证:是直角三角形.
延长至点,使得,在上截取,联结.
易证,,
易证,,即是直角三角形.
★★★★★(截长补短or三垂直)
如图,等腰中,,,于,交于点;过点作于,交的延长线于.求证:.
法一:延长至点,令,联结.
由,易证,因此,
即,(等角的余角相等),即
易证.
又
(同角的余角相等)即
法二:过作垂线,交延长线于.
易证,故,即;
由,易证,因此,
故(等式性质),设;
易证,因此可证,
所以,故;
又易证,故(等角对等边),
所以,得证.
全等辅助线秘籍(二)
——图形运动
★★★(翻折)
如图,在四边形中,,.如果,求四边形的面积.
如图所示,以边上的中垂线为对称轴作的轴对称图形,
则,,,
故、、共线.又因为,
由可知,而,
故.因此.
故.
★★★★(旋转)
如图,在中,,,以为边在另一侧作等边.当变化时,求边的最大值及相应的的度数.
如图所示,将绕点逆时针旋转得到,联结.
则
可以证明,为等边三角形
在中,(当且仅当、、三点共线时等号成立)
且仅当、、三点共线时,
此时,即
当,边有最大值,为
如图,已知,为上一点,于,四边形为正方形,为射线上一动点,连结,将绕点顺时针方向旋转得,连结,若,则的最小值为.
联结,则可得
当时,取最小值,此时
∴的最小值为
求证:以任意三角形各边为边分别向外侧作等边三角形,则它们的中心构成一个等边三角形.
【拿破仑定理】
如图,将绕点逆时针旋转,得,联结,易证,
故可证,因此;又易证,
故,同理可证,故为等边三角形.
⑴邻补角是().
.和为的两个角..有公共顶点且互补的两个角.
.有一条公共边且相等的两个角.
.有公共顶点且有一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角.
⑵如图,如果,那么下列结论中:
①;②;③;④与互余;⑤;
正确的个数是()
个个个个
⑶直线、、在同一平面内,如果,,那么;如果,那么;如果,那么;如果与相交,与相交,那么与相交;在上述四种说法中,正确的有()
个个个个
⑴.
⑵①②③是正确的
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