7自招 第12讲 全等三角形综合（二）（教师版）.docxVIP

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PAGE8/自招体系7年级教师版第12讲

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第

第十二讲

全等三角形综合（二）

全等三角形综合

（二）

【重点】：①学习构造等边三角形解题的辅助线作法；

②熟练角平分线、垂直平分线、中点模型、截长补短、三垂直模型以及平移、翻折、旋转等辅助线添加方法；

【难点】：①结合角度、线段关系构造等边三角形的解题思路；

②各类几何辅助线的灵活应用．

如图所示，在四边形中，，，求证：．

注意到，可凭借构造等边三角形．

以为对称轴将翻折到的位置，联结．则，

，故为等边三角形．

从而，当且仅当平分时等号成立．

全等辅助线秘籍（三）

——构造等边三角形

在一些较难的几何题目中，常用到构造等边三角形的解题思路，这些题目往往存在以下特征：

1．角度和差等于

2．有多条线段的相等关系

★★★

如图，在中，，，点为内一点，，

求的大小．

如图，在内作，则，于是

可构造等边．

★★★★

已知：如图，中，，，．求的大小．

构造等边三角形：以为一边在右侧作等边，联结．

，故可证，

故，，

因此，又，故

所以

★★★★

已知中，，，为内一点，，，则的度数是多少？

如图，作等边，联结、．

则，

,

而

★★★★（平移）

如图，在等腰中，，延长至点，延长至点，且，联结．如果，求度数．

如图，过作，联结、

则

又

为正三角形

设，则，

解得

全等三角形综合

★★★

⑴如图①，在中，，，平分，交的延长线于，为垂足，则结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论正确的是________．

⑵如图②，已知平分，于，，则下列结论：

①；②；③；④；

其中正确结论的是________．

图①图②

⑴①②⑤；⑵①②③④．

★★★★（截长补短）

已知：如图，梯形中，，为等腰直角三角形，过作于，交于，联结．求证：．

法一：延长至点，令，联结．

即

法二：取中点，联结交于．

易证，（沙漏）

故可证，因此，；

故易证，因此；

又，故．

★★★★（等腰三角形+倍长中线）

如图，中，，交于点，为中点，，求证：．

设，则，

导角可得，

作交于，则

∴，又

∴

∴

∴

★★★★（一线三等角+旋转全等）

如图、、为在直线上的三个动点（、、三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，联结、，若，试判断的形状，并说明理由．

，又

∴

∴，

∴

∴为等边三角形

⑴如图1，，，，则________．

⑵如图2，直线，直线交于，交于，直线交于．若，，则________．

图1图2

⑴，，，，故

⑵；

⑴如图1，，直线分别交，于点，，平分，若，则．

⑵如图2，，，则、、所满足的关系是．

图1图2

⑴；⑵．

⑴如图①，在中，，，，则________．

⑵如图②，中，，，将绕点按逆时针方向旋转角到的位置，在上，交于，则的度数是________．

图① 图②

⑴；⑵．

⑴如图①，，，，给出下列结论：①②；③；④，其中正确的结论是：________．（把你认为所有正确结论的序号填上）

⑵如图②，与中，点在边上，，，，交于．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号）

图①图②

⑴①②③，由，得，，．

进而可得到，

⑵①③④，≌．

如图，在中，,，是外一点，且，联结．

求证：．

如图，将绕点旋转得，易证、、三点共线．

则，，

在等腰中，

即

已知中，，，为内一点，，，则的度数是多少？

如图，将线段关于翻折，得到线段，联结、、，则

，,

为等边三角形．

，可计算得

而

为正三角形

如图，在中，，、分别为、