高等数学中的复变函数及其应用.pdfVIP

高等数学中的复变函数及其应用--第1页

高等数学中的复变函数及其应用

1.引言

高等数学是理工科学生必修的一门重要课程，其中的复变函数

更是数学中一门非常重要的分支。复变函数是用复数集作为自变

量和因变量的函数，它们具有非常丰富的性质，在物理、工程等

领域中有着广泛的应用。

2.复数及其表示

复数是由实数和虚数构成的数，它被表示为a+bi的形式，其

中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位，即i²=-1。复数也

可以用极坐标表示，即r(cosΘ+isinΘ)，其中r是模长，Θ是辐角。

3.复变函数的定义与性质

复变函数是将复数映射到复数的函数，即f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，

其中u(x,y)和v(x,y)是实变量函数，z=x+iy是复数。虚部和实部也

分别称为复变函数的虚部和实部。

高等数学中的复变函数及其应用--第1页

高等数学中的复变函数及其应用--第2页

复变函数的导数被称为复变函数的导函数，它定义为极限

lim(z→0)(f(z+h)-f(z))/h，通过一系列运算可以证明：当复变函数

f(z)可导时，它的导函数存在，且它一定满足柯西-黎曼方程（即实

部的偏导数等于虚部的负偏导数），反之亦然。

4.柯西定理和柯西公式

柯西定理是复分析中最基本的定理之一，它指出：如果在区域

D内f(z)是可导的，则任何简单闭曲线C都满足∮f(z)dz=0，其中

∮表示对C积分。

柯西公式是柯西定理在更一般的场合下的推论，它指出：如果

在区域D内f(z)是可导的，则对于D内C的内部点a，有

f(a)=1/2πi∮f(z)/(z-a)dz，其中∮表示对C积分。

5.解析函数

解析函数是在一个区域内无处不可导的函数，它具有以下性质：

高等数学中的复变函数及其应用--第2页

高等数学中的复变函数及其应用--第3页

（1）具有唯一性，即在一个区域内，如果两个函数在区域内

的每个点都可导且导数相等，则这两个函数相等。

（2）可分离实部和虚部，即若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数，

则它的实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是调和函数，即满足在区域内的

拉普拉斯方程u(x,y)和v(x,y)的偏导数等于零。

（3）具有最大模原理，即如果f(z)是区域D内的解析函数，其

在D的一部分上取得了最大值，则它必须在该区域的边界上取得

最大值。

6.应用

复变函数在物理、工程等领域中有着广泛的应用，例如在电磁

场理论中，复变函数被广泛应用于求解电势和电场分布问题；在

信号处理领域，复变函数被应用于频域分析，例如傅里叶变换、

拉普拉斯变换等。

另外，在复平面上，复变函数可以用于描述复杂的几何形状，

如瑞利–贝努尼分布、卡特曼扇形等等。

高等数学中的复变函数及其应用--第3页

高等数学中的复变函数及其应用--第4页

7.总结

高等数学中的复变函数不仅是数学中一门重要的分支，同时具

有广泛的应用。通过对复数、复变函数和解析函数的学习和理解，

我们可以更好地理解复杂的数学问题和实际问题，为解决实际问

题提供有效的工具和方法。

高等数学中的复变函数及其应用--第4页