7自招A 第4讲 等腰三角形（学生版）.docxVIP

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PAGE12/自招A7年级第4讲

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第四讲

第四讲

等腰三角形

等腰三角形

等腰三角形的基本性质

等腰三角形：

有两条边相等的三角形．

性质：

⑴等边对等角

等腰三角形的两个底角相等．

⑵等腰三角形的三线合一

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

⑶图形特点：

等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线．

判定：

等角对等边

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，这个三角形就是等腰三角形．

★★★

⑴已知一个等腰三角形的两条边为和，则这个等腰三角形的周长为．

⑵已知一个等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形另外两个角为．

⑶已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为．

⑷已知是等腰一腰上的高，且，求三个内角的度数．

★★

如图，已知，是中点，，求证：⑴；⑵．

★★★

已知：如图，五边形中，，，，为中点．

求证：．

★★★

如图，在中，，，为边的中点，交延长线于点，平分交于点，

求证：⑴；⑵点为的中点．

等腰三角形的角度问题

在等腰三角形的角度问题中，经常用到设未知数解题的思想．

★★

黄金三角形是一类非常美观的等腰三角形，通过将它切割，能够分割成另两个稍小的等腰三角形，存在如下两种类型的黄金三角形：

⑴如图，在等腰中，，经分割后得到两等腰三角形，其中，求的各个内角度数．

⑵如图，在等腰中，，经分割后得到两等腰三角形，其中，，求的各个内角度数．

★★★★

如图所示，已知在中，、分别平分它的两个外角，并分别与两条边、的延长线交于点、．若，则．

★★★★★

将一个等腰划分成两个较小的等腰三角形，问这样的有几种？并将满足条件的的所有内角列出来．

等边三角形全等模型

1．等边三角形的性质：

⑴等边三角形的三条边相等，三个角相等，都是；

⑵作为特殊的等腰三角形，等边三角形具备等腰三角形的所有性质

2．等边三角形的判定：

⑴三边都相等的三角形是等边三角形．

⑵三个内角都相等的三角形是等边三角形；

⑶有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．

3．等边三角形中的全等：

前提：在等边中，

结论：①②．

PS：②的导角过程，由全等知．

推广：正方形中，，则

正五边形中，，则

根据以上探索，你能否继续推广到正变形中？可以得到什么结论？

4．手拉手模型（PS：正方形同理）

已知和为等边三角形，、相交于，则：

①；②线段与的夹角为；③平分（选讲）．

进一步，若、、共线，则（选讲）：

④为等边三角形；⑤．

本模块望各位老师好好给学生总结一下两个基本全等模型，部分结论可以选讲，太多学生也记不住，主要目的是增加学生对两个模型的熟悉度．

★★

如图，等边中，、、分别在、、上，且，三条线段的交点分别为、、，判断的形状．

★★★

如图，，，三点共线，且与是等边三角形，连结、，交于点，且分别交、于、点．

求证：⑴；⑵；⑶．

★★

⑴已知：如图⑴，以平行四边形的边和向形外作正三角形和．

证明：为等边三角形．

⑵已知：如图⑵，已知和都是等边三角形，且、、三点在同一直线上．

证明：．

图⑴图⑵

⑴等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长是．

⑵在中，，它的周长为，过点作，垂足为，的周长为，则的长为．

⑶等腰三角形的底边长，一腰上的中线把这个三角形分成两部分，这两部分的周长之差为，那么这个等腰三角形的腰长是________．

⑴如图①，点共线，，，则________．

⑵如图②，中，，，则________．

图①图②

⑶如图所示，是一个钢架，且，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管、、、……，所添加的这些钢管的长度都与相等，那么最多能添

加根这样的钢管．

如图，已知相交于点是的中点．

证明：平分．

⑴已知：如图，五边形中，．

求证：①；②平分．

⑵如图所示，在中，，、为上两点，若，．

求证：．

已知：如图