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PAGE14/自招A7年级第5讲
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第五讲
第五讲
全等三角形的判定(角平分线与截长补短)
全等三角形的判定
(角平分线与截长补短)
⑴已知:如图,平分,于,于.求证:.
⑵已知:如图,为内部一点,且于,于,.
求证:平分.
⑴易证,故.
⑵易证,故.
【注】本题即角平分线的性质定理和判定定理的证明,虽极简单,建议老师在讲知识点时还是带着孩子认真写一遍证明,并请注意强调在学校尤其是公立学校里,此知识点属于八年级上册内容,考试时不能直接用,仍需像本题一样通过三角形全等来证明.
角平分线基本模型
角的平分线:
性质定理:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
判定定理:在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边距离相等的点,在这个角的角平分线上.
【思考】若去掉“在一个角的内部(包括顶点)”,则这个点在什么位置?
角平分线常见辅助线
⑴过角平分线上的点作角两边的垂线:
已知平分,于.
作于.
在和中
⑵在角的两边上截取线段相等(图形的运动观点——轴对称、翻折)
已知平分,为上一点.
【常用辅助线!!】在上截取,连结.
在和中
⑶通过角平分线和垂线条件,构造等腰三角形(三线合一)
已知平分,于.
【常用辅助线!!】延长,交于.
在和中
【思考】此种辅助线作法比截取的好处在于?
⑷角平分线和平行条件结合,构造等腰三角形:
已知平分.
作交于.
平分(已知)
()
(已作)
()
()
()
【注】本讲重点学习①②模型.
(选讲)补充知识点:三角形的五心——内心与旁心
⑴内心:三角形的三条内角平分线交于一点,这点叫做三角形的内心.内心是三角形内切圆的圆心.内心到三角形三条边的距离相等.
⑵旁心:三角形一条内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点叫做三角形的旁心.三角形的旁心共有三个,它们都是三角形旁切圆的圆心.旁心到三角形三条边的距离相等.
对于大部分的学生来说,都是刚开始几何部分的学习.学生在几何上做得并不熟练,特别是在如何添加辅助线这一块.本讲设置了很多相似类型的题目,供学生针对同一种形式进行练习.题量较大.拓展的几道题是非常经典的题型,可酌情讲解.
★★
⑴已知:如图,的两条内角平分线交于点.求证:平分.
⑵已知:如图,的两条外角平分线交于点.求证:平分.
★★
已知:如图所示,点为的平分线上一点,于,.
求证:.
★★
已知:如图,四边形中,,.求证:平分.
★★
⑴如图所示,中,、分别平分、,过点作的平行线分别交和于、.求证:.
⑵如图所示,平分,其余条件不变,试探索、、之间的数量关系.
★★★★
如图所示,已知等腰直角三角形中,,,平分,,垂足为.
求证:.
★★★
已知:如图,中,平分,为线段上异于点的任意一点.试比较与的大小,并说明理由.
★★★★
如图,已知在内,,,、分别在、上,并且、分别是、的角平分线,求证:.
截长补短
截长补短法,是初中数学几何题中一种常见辅助线的添加方法,也是把几何题化难为易的一种思想.常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段(如证明形式).截长就是在把一条边截取成两段,补短就是在一条边上延长,使其等于一条所求边.
截长:在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等.
补短:延长一条短边,使延长部分等于另一短边,再证延长后的总长等于长边.
★★
已知:如图,在中,于,且.求证:.
★★
已知:在中,,,是的平分线.
求证:.
★★★★
已知,平分,点、分别在、上.
⑴如图,若,试判断线段、、之间的数量关系,并证明之;
⑵如图,若,则⑴中的结论是否仍然成立?若成立,给出证明;若不成立,请说明理由.
图1 图2
★★★★★
已知:如图,中,,,平分交于.求证:.
⑴在中,平分,,,求的大小.
⑵在中,,平分,求.
⑶在中,,平分,,,求.
⑴在中,,,的平分线交于,且,
则到的距离等于.
⑵在中,,于,是的平分线,交于点.点到的距离等于,则=.
已知:如图,四边形中,平分,.求证:.
已知:如图,是中的外角平分线,是射线上异于点的一点.
求证:.
已知:如图所示,于,,且,求的度数.
已
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