第2讲 动点存在性问题综合（教师版）.docxVIP

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PAGE11/8年级自招A班第2讲

第二讲

动点存在性问题综合

利用分类讨论的数学思想，一般利用特殊三角形和四边形的性质，通过勾股定理去计算．

等腰三角形：两圆一垂

直角三角形：两垂一圆

平行四边形：主要利用对角线互相平分

梯形：一边平行，一边不平行

（详细知识点请参考暑假班讲义）

★★★☆☆

如图，已知在中，，垂足为，的平分线交于点，点为边上的动点（不与重合），连接．

⑴求的长．

⑵设，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域．

⑶当为以为腰的等腰三角形时，求的长．

备用图

⑴设，则，

，即

化简整理得：，故的长为1．

⑵由⑴知，故．

作,垂足为，则

由勾股定理，

解得．

即．

⑶当为以为腰的等腰三角形时，若为腰，

．

若为底，，，

．

当为以为腰的等腰三角形时，的长为2或．

★★★☆☆

如图所示，在等腰梯形中，,是的中点，过点作交于点.，，.

⑴求点到的距离.

⑵点是线段上的一个动点，过作交于点,过点作交折线于点，联结，设.

①当点在线段上时，的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由.

②当点在线段上时，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.

⑴.

⑵①形状不发生改变.

作.则,,.

中，.

故周长为.

②等腰三角形根据顶角的不同，可以分为以下三种情况进行讨论：

Ⅰ.时，此时,此时为中点，

Ⅱ.时，,故

Ⅲ.时，此时与重合，.

综上：的值为时，为等腰三角形.

★★★★☆

已知长方形，为坐标原点，的坐标为，、分别在坐标轴上，是线段上的动点，已知点在第一象限内.

⑴若是直线上一点，且是等腰直角三角形，求点的坐标；

⑵若是直线上一点，且是等腰直角三角形，求点的坐标．

⑴点位于线段上，，故只能点为直角顶点，

过作轴于，则，得：；

即点的纵坐标为，代入中，可求得；

⑵①点为直角顶点，结合图形可知，此种情况显然不合题意；

②点为直角顶点，分两种情况：

设,由全等，得，,,

③点为直角顶点，显然此时点位于矩形的外部；设,则，由全等，得，，，得

★★★☆☆

如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，轴，且点的纵坐标为，双曲线经过点．

⑴求的值及双曲线的解析式；

⑵过点的直线与双曲线的另一个交点为点，且的面积为．

①求直线的解析式；

②过点作轴交直线于点，点是直线上的一个动点．若将以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点的坐标．

⑴，则，再确定点的坐标为，；

⑵①设，根据三角形面积公式得到，解得，则点的坐标为，再利用待定系数法求直线的解析式；

②先确定，根据直线解析式的特征可得直线与轴的夹角为，而轴，于是得到，根据正方形的判定方法，只有为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，分类讨论：

若，则点在的垂直平分线上，易得此时；

若，利用轴，易得此时．

★★★★☆

已知：矩形中，，的垂直平分线分别交于点，垂足为．

⑴如图，连接．求证：四边形为菱形，并求的长；

⑵动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周．即点自停止，点自停止．在运动过程中，

①已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．

②若点的运动路程分别为（单位：），已知四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式．

⑴先证明四边形为平行四边形，再根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形作出判定；根据勾股定理即可求得；

⑵①显然当点在上时，点在上，此时四点不可能构成平行四边形；

同理点在上时，点在或上或在上，在上时，也不能构成平行四边形．

因此只有当点在上、点在上时，才能构成平行四边形，

∴以四点为顶点的四边形是平行四边形时，，

，

②分三种情况：

i）当点在上，点在上时，，即，得；

ii）当点在上，点在上时，，即，得；

iii）当点在上，点在上时，，即，得．

综上所述，与满足的数量关系式是．

★★★☆☆

如图，在平面直角坐标系中，把矩形沿对角线所在直线折叠，点落在点处，与轴相交于点，矩形的边,的长是关于的一元二次方程的两个根，且.

⑴求线段的长；

⑵求证:,并求出线段的长;

⑶直接写出点的坐标；

⑷若是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由.

⑴解方程得，，又，得,.

⑵由翻折可知,,，故

设，则,解得.

⑶

⑷易知为等腰三角形

①时，,点的坐标为

②时，，点的坐标为.

③时，或,的坐标为,.

综上，点的坐标为，，或.

★★★☆☆

如图，矩形的顶点在原点，分别在轴和轴的正半轴上，,,反比例函数的图象与交于点，与交