第3讲 动点与函数（教师版）.docVIP

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PAGE15/8年级自招A班第3讲

第三讲

动点与函数

题型特点：

动态几何问题，是在几何知识和具体的几何图像背景下，通过点、线、形的运动，图形的平移、旋转、对称等来探究图形有关性质和图形之间的数量关系、位置关系的问题．常结合图形面积、存在性问题等考查．

处理原则：

⑴研究基本图形，分析运动状态，确定分段；

⑵借助几何特征建立函数关系式．

难点拆解：

动点问题状态转折点通常是折线转折处或动点相遇处；图像运动问题状态转折点通常是边与顶点的交

点．

★★★☆☆

在中，，点是射线上的一个动点，是等边三角形，点是的中点，联结．

⑴如图，当点在线段上时：

①求证：．

②联结，设线段，线段，求关于的函数解析式及定义域

⑵当时，求的面积．

⑴①因为，所以，

又因为，，

所以

②因为，

所以，

因为点是的中点，

所以根据三线合一，

在中，，定义域为

⑵当点在线段上时，此时，

则，所以；

当点在延长线上时，此时，

所以，

此时，

所以

综上面积为或．

★★★☆☆

在中，，，是线段上的一个动点，，交线段的延长线于点．

⑴当时，求证．

⑵当点在边上且时，设，求关于的函数解析式，并写出它的定义域．

⑶当，且时，请直接写出的长．

⑴因为，所以，

根据等角的余角相等，所以，所以；

⑵作于点，则，，

所以，

，，

根据勾股定理解得．

因为，所以解得定义域为；

⑶

★★★☆

已知在中，，,在射线上分别有两动点，且,联结交于点.

⑴当点在边（与点不重合）上，线段与线段之间有怎样的大小关系？并证明你的结论.

⑵当点在射线上，若设,,求与之间的函数关系式及定义域.

⑶过点作直线的垂线，垂足为点，随着点的移动，线段的长能确定吗？若能确定，请求出的长；若不能确定，请说明理由.

备用图

⑴作，交于点，易证

⑵

⑶

★★★☆☆

已知：在菱形中，，,点是射线上的一个动点，,交射线于点，设,.

⑴求证:是等边三角形.

⑵求关于的函数解析式，并写出它的定义域.

⑶如果,求的值.

备用图

⑴联结,证,则.又,∴是等边三角形

⑵如图，作,则，，，由勾股定理

，解得

⑶或

★★★★☆

四边形为等腰梯形，．在如图所示的平面直角坐标系中，，，点从出发以每秒个单位的速度向终点运动；同时点从出发以每秒个单位的速度向终点运动，过点作垂直轴于，联结交于，联结．

⑴写出点坐标；

⑵若动点运动秒，求点的坐标（用含的式子表示）；

⑶求的面积与时间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

⑷当取何值时，的面积最大；

⑸当为何值时，为等腰三角形．

⑴

⑵若动点运动秒，则，∴，

又∵，∴直线的解析式为

∴

⑶此时，

∴（）

当时，运动到点，不存在，∴

∴的取值范围是

⑷∴当时，

⑸∵，，

∴，

，

若，得；若，得；若，得

综上所述：当或时，都为等腰三角形．

★★★★☆

已知为等边三角形，，是上的一个动点（与、不重合），过点作的垂线与相交于点，以为正方形的一个顶点，在内作正方形，其中、在上，在上．

⑴设的长为，正方形的边长为，写出关于的函数解析式及定义域．

⑵当时，求的长．

⑶是否可能成为直角三角形？若能，求出的长；若不能，请说明理由．

备用图

⑴在中，，∴

在中，，∴

∴

∴（）

⑵当时，∴

⑶

当时，，得

当时，，得

★★★★☆

在中，，．点是边上的点，∥交于点．

⑴求的面积

⑵若点在上移动，（不与、重合），以为边，且在的下方作正方形．设，与正方形重叠部分的面积为，试求关于的函数关系式，并写出定义域．

⑶在⑵中，联结．当是等腰三角形时，请直接写出的长．

⑴作于

∵

∴

∴

∴

⑵设，，

∴

当，即时，

（）

当，即，

（）

⑶或或

如图，在等腰直角三角形中，是斜边的中点，是斜边上的一个动点，为上的一点，且，，垂足为点．

⑴求证：．

⑵设，四边形的面积为，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域．

⑴因为，，，

所以

又因为，

所以≌，所以；

⑵易得，所以，，

，

所以

定义域

已知：梯形中，，，，联结，点沿梯形的边移动，设点移动的距离为，．

⑴求证：

⑵当点从点移动到点时，与的函数关系式如图中的折线所示．求的长．

⑶在⑵的情况，点沿移动的过程中，是否可能成为等腰三角形？若能，请求出所有能使为等腰三角形的的取值；若不能，请说明理由．

⑴∵

∴

⑵作于，由函数图像可知，

当时，

当时，，即

∴

在中，，，即

∴

⑶若为等腰三角形

当，或

当，或

当时，或或

在中，，，，、