第6讲 相似三角形（教师版）.docxVIP

PAGE16

PAGE16/8年级自招A班第6讲教师版

PAGE16

第六讲

相似三角形

相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．

（简称：两角对应相等，两个三角形相似）

1．如图，在中，，是上的一点，交于，使，则图中的相似三角形有对．

如图，∴

∴；

2．如图，已知于，于，相交于，则图中共有相似三角形对．

、、

、、共有6对

理解相似三角形的有关概念；掌握相似三角形的性质定理和判定定理，熟练运用这些定理进行几何计算与证明．

一．相似三角形的认识

1．定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似

对应相等的角的顶点是这两个相似三角形的对应顶点，以对应顶点为端点的边是这两个相似三角形的对应边．

两个三角形是相似三角形，也可以表述为“两个三角形相似”，或“一个三角形与另一个三角形相似”．

在和中，，，且，

那么与相似，记作，符号读作“相似于”．

（通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“”后相应的位置上）

2．两个相似三角形的对应边的比（），叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．

注意相似比与两个三角形相似的表述顺序有关．

（当两个相似三角形的相似比为时，这两个相似三角形就成为全等三角形，反过来，两个全等三角形一定是相似三角形，它们的相似比等于．因此全等三角形是相似三角形的特例）

3．三角形相似的传递性：如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．

二．相似三角形的判定

1．相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似（用定义判定两三角形相似需验证六个条件）

常见题模型如下：

注：前两种模型很容易从直观角度直接找到相似的三角形，对于后面四种模型需要作辅助线时，一般在题中会找到有利的已知条件有：线段中点，中线，线段间的倍、分关系，以及角平分线等．

判定定理1

如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．

（简称：两角对应相等，两个三角形相似）

判定定理2

如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．

（简称：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似）

判定定理3

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．

（简称：三边对应成比例，两个三角形相似）

直角三角形相似的判定定理

如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么两个直角三角形相似．

（简称：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似）

*利用三边对应成比例证明三角形相似时，如果是填空和选择题，会直接给出三边的长度数或者根据方格数自己算出长度，学生只需要对应的列出比例式就可以．解答题中需要由其他的相似导出成比例的三组对边，或者有一类题型要求找某一点时，一定要注意分类讨论，不要丢掉某种情况．

三．相似三角形的性质

相似三角形性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例．

相似三角形性质定理1相似三角形对应高的比、对应中线的比及对应角平分线的比都等于相似比．

如图，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，是中边上的中线，是中边上的中线，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）．

相似三角形性质定理2相似三角形的周长比等于相似比．

相似三角形性质定理3相似三角形的面积比等于相似比的平方．

★☆☆☆☆

⑴如图，，若，，，求的长．

⑵如图是直角三角形，，，为正方形，已知，，分别是，，的边长，则，，满足的关系式为．

⑴

⑵．易得，∴即，整理得，则有．

★★☆☆☆

如图，为中边上一点，已知点与点分别为与的重心，求的值．

．分别延长交于，延长交于，联结，则、分别为、的中点，∴且，∴，，又∵，∴，∴，则，∴．

★★☆☆☆

如图，在锐角中，分别为边上的高，和的面积分别等于和，，求点到的距离．

易证，∴，∴，进而，

可求得

★★★☆☆

底边的高为，直线，平行于将三角形的面积等分为三部分，那么，之间的距离为．

易证且面积比为，所以相似比为，故的高为，同理且面积比为，所以相似比为，故的高为，所以之间的距离为

★★☆☆☆

⑴在中，，图中有相似三角形吗，说明理由．

⑵如图，在中，，是边上中线，于点，延长交于点，则图中与相似的三角形有．

⑶如图，是的斜边上异于的一定点，过点作直线截，使截得的三角形与相似，这样的直线共有条．