第8讲 相似三角形基本模型（二）（教师版）.docxVIP

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第八讲

相似三角形基本模型

（二）

射影型

射影模型：

角：，，

边：，，

形：

注：遇到直角三角形就想到有互余的角，可以找到两对以上相等的角．

★★☆☆☆

已知，如图，在中，点在上，，，分别为垂足．求证：．

由射影定理得，则可证明．从而可得，则．

★★★☆☆

如图，中，，，垂足为，延长至点，联结，过点作，垂足为，交于点，求证：．

由得，再证，得

∴，∴

★★★☆☆

如图所示，已知是正方形，分别在边上，且．又，垂足为．求证：．

在中，，得得，

又，所以，证

∴

∴，即

★★★☆☆

如图，等腰三角形，，为的中点，于，为的中点，、交于，求证：．

∵，，∴，∴

∴，∵，，∴

∴，∴，又∵

∴即

★★★★☆

如图，为斜边的三等分点靠近，，则．

过作于，设，，则，

．

共边型

共边型：

角：，，

边：，

形：

★★★☆☆

中，，垂直于边上的中线，交于点.

⑴求证：；

⑵若，求边的长．

⑴∵，，∴

得，即

⑵，由⑴，

设，则，在中，由勾股定理有

∴，进而，

★★★☆☆

如图所示，在中，，，求的长及的面积．

过点作，垂足为，则，

设，证得

在中，由勾股定理有

∴即，解得

★★★☆☆

如图，在中，，，，、是线段上两点且为等边三角形，

⑴求证：；

⑵求线段的长；

⑶求的面积．

⑴∵等边，∴，

∴，

又∵，∴

∴，∴，即

注：，

⑵法一：由，∴

设，则，

∴，再由，可得，∴，∴，∴．

法二：过作，交延长线于点．计算得，由得，得，.

⑵过作于

∵为等边三角形，∴，∴

∴

★★★★☆

已知，分别为的内、外角平分线，为的中点．

求证:⑴；⑵．

联结．倒角可得，进而有，可得

所以，（或）

★★★★☆

设，，分别是的三边长，且，求证：

（关键是条件的使用，由这个等式即，联想到构造共边斜）

由化简得∴

如图，延长至，使，联结

则，，

∵，又是公共角

∴，∴

∵，∴

如图，在中，点在边上，分别交线段、边于点、，，．求证：．

∵

∴

∴

∴

∴

如图，在中，于，于，于．

求证：．

由射影定理可得即

又∵，∴，∴

已知：如图，在中，，．

求证：⑴；⑵．

⑴在中，∵，∴．

又∵，，∴．

而

∴．

∴

⑵由，得

∴

而，，∴．

∴．

如图，已知梯形中，，，点在对角线上，且满足．

⑴求证：；

⑵以点为圆心，长为半径画弧交边于点，联结.求证：.

⑴∵，∴

又∵，∴

∴即，∵，∴

⑵∵等腰梯形，∴，又∵

∴即

∴，∴，∴

如图，已知在中，，点在边上，，，、分别是垂足；

⑴求证：．

⑵联结，求证：．

⑴∵，∴

⑵∵，∴

∴，即

又，∴

∴，即

已知，如图，在梯形中，，，对角线、相交于点，且．

⑴求证：；

⑵点是边上一点，联结，与相交于点，如果，求证：．

⑴易证，∴即

⑵证，∴，又∵，∴

或由得

斜边上的高，延长到使得，过作交于，交于，则．

，∴，即

由射影定理可得，即∴可得

如图，点、分别在正方形的边、上，且，，于.求证：．

联结，∵且，∴

倒角可得，进而有

∴即

或者由射影定理可得，

∴

如图，中，点在上，已知，求证：．

过点作交于，则，∵，

∴即，∴

又∵，∴，∴，

∴，∴

在中，分别是上的点，且．如果、、的周长为，求证：．

设，则．

；

∴，∴，．

∴，；

∴．（当时取等）