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PAGE11/8年级自招A班教师版第13讲
第十三讲
二次函数的图像
与性质
二次函数的图像与性质
一、二次函数的定义
一般地,形如(为常数,)的函数称为的二次函数.
注意:和一元二次方程类似,二次项系数,而、可以为零.二次函数的自变量的取值范围是全体实数.
二、二次函数的图像及性质
二次函数的图像是一条曲线,叫做抛物线.抛物线是轴对称图形,有且只有一条对称轴,对称轴与抛物线的交点是这个抛物线的顶点.
1.二次函数的性质:
⑴抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是直线(轴).
⑵函数的图像与的符号关系.
①当时抛物线开口向上顶点为其最低点;
②当时抛物线开口向下顶点为其最高点;
2.二次函数或()的性质
从解析式上看,与是两种不同的表达形式,
前者通过配方可以得到后者,即,其中
⑴开口方向:
开口大小:越大,抛物线开口越小;越小,抛物线开口越大.
温馨提示:几条抛物线的解析式中,若相等,则其形状相同,即若相等,则开口及形状相同,若互为相反数,则形状相同、开口相反.
⑵对称轴:直线(或直线)
和共同决定抛物线对称轴的位置
当时,抛物线的对称轴为轴;
当、同号时,对称轴在轴的左侧;
当、异号时,对称轴在轴的右侧.
通常简记作“左同右异”
⑶顶点坐标:(或)
⑷最值:
时有最小值(或);时有最大值(或);
⑸单调性:二次函数()的变化情况(增减性)
①当时,对称轴左侧,随着的增大而减小,在对称轴的右侧,随的增大而增大;
②当时,对称轴左侧,随着的增大而增大,在对称轴的右侧,
随的增大而减小;
⑹与坐标轴的交点:
①与轴的交点:;
的大小决定抛物线与轴交点的位置:
当时,抛物线与轴的交点为原点;
当时,交点在轴的正半轴;
当时,交点在轴的负半轴.
②与轴的交点:方程(或)的根.
三、其他
1.二次函数图像的画法
五点绘图法:
利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.
一般我们选取的五点为:顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点,(若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴的交点,与轴的交点.
2.点的坐标设法
⑴一次函数()图像上的任意点可设为.其中时,该点为直线与轴交点.
⑵二次函数()图像上的任意一点可设为.时,该点为抛物线与轴交点,当时,该点为抛物线顶点.
⑶点关于的对称点为.
3.二次函数的图像信息
⑴根据抛物线的开口方向判断的正负性.
⑵根据抛物线的对称轴判断的大小.
⑶根据抛物线与轴的交点,判断的大小.
⑷根据抛物线与轴有无交点,判断的正负性.
⑸根据抛物线所经过的已知坐标的点,可得到关于的等式.
⑹根据抛物线的顶点,判断的大小.
★★☆☆☆
⑴与抛物线形状相同,顶点为的抛物线表达式为.
⑵已知抛物线经过点、,那么此抛物线的对称轴是.
⑶如果抛物线与轴交于点,那么点关于此抛物线对称轴的对称点坐标是.
⑷如果抛物线的顶点坐标为,那么的值等于.
⑸若抛物线的顶点在轴的右侧,则的取值范围是.
⑹已知二次函数,那么它的图像一定不经过第象限.
⑺若二次函数的图像的开口向下,顶点在第一象限,抛物线交于轴的正半轴,则点在第象限.
⑴或
⑵直线⑶
⑷由题意,,.
⑸由题意,,解得⑹三⑺二
★★☆☆☆
⑴不论取任何实数,抛物线的顶点都在一条直线上,则这条直线的解析式为.
⑵已知二次函数(为常数),当取不同的值时,其图像构成一个“抛物线系”.如图分别是当时二次函数的图像,它们的顶点在一条直线上,这条直线的解析式是.
⑶已知二次函数,其中满足和,则该二次函数图像的对称轴是直线.
⑷已知二次函数,当取不同的值时,其图像构成一个“抛物线系”,如图中的实线型抛物线分别是取三个不同的值时二次函数的图像,它们的顶点在一条抛物线上(图中虚线型抛物线),则这条虚线型抛物线的表达式是.
⑴设顶点坐标为,则,消去,得.
⑵设顶点坐标为,则,消去,得
⑶两式相减,则对称轴为直线
⑷设顶点坐标为,则,消去,得
编者注:函数除了直接表示成和的关系式之外,也可以用参数来做一个过渡,表示成一组参数方程.此时要得到函数解析式,只需把参数消去即可.如果涉及到定义域,那么在消去参数的过程中还要注意自变量的范围.
★★☆☆☆
⑴开口向下的抛物线对称轴是,当自变量取、、、时,对应的函数值为,则的大小关系是.
⑵已知、是抛物线的图像上两点,则.
⑶二次函数的图像的对称轴为直线,若此抛物线与轴的一个交点为,
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