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PAGE11/自招A班9年级第六讲
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自招专题之方程整数解问题第六讲
自招专题之方程
整数解问题
第六讲
一元二次方程
一、含参一元二次方程的整数根问题常用解法:
⑴因式分解法直接求解:先把方程的根求出来,然后利用整数的性质以及整除理论,求解.
⑵判别式法:在二次方程有根的前提下,通过判别式确定字母或根的范围,运用枚举法讨论,利用平方数的性质,不定方程分析等方法求解.
⑶韦达定理法消参:由根与系数的关系得到用待定字母表示的两根和、积式,从中消去待定字母,得到两整数根之间的关系式,再通过因式分解和整数性质求解.
⑷巧选主元:若运用相关方法直接求解困难时,可选取字母为主元,结合整除知识求解.
二、对于整系数一元二次方程(,为整数):
是完全平方数方程有有理根;
非完全平方数方程有无理根.
★★(因分)
⑴已知关于的方程的根都是整数,则满足条件的整数的值为________.
⑵关于的方程至少有一个正整数根,正整数的值为_______.
⑴、、、或;⑵、、或
★★★(奇偶分析)
⑴一元二次方程中,若、都是偶数,是奇数,则这个方程()
.有整数根.没有整数根
.没有有理数根.没有实数根
.假设方程有整数根,则,矛盾,故成立.
⑵方程的根的情况为()
()没有实数根;()有整数根;()有正数根;
()两根的倒数和小于;()以上结论都不对.
选.
⑶给出四个命题:①整系数方程中,若为一个完全平方数,则方程必有有理根;②整系数方程中,若方程有有理数根,则为完全平方数;③无理数系数方程的根只能是无理数;④若均为奇数,则方程没有有理数根,其中真命题是________.
★★★(判别式范围)
关于的方程的两个根分别为,.
⑴若,求的值;
⑵若,均为整数,求的值.
⑴
解得:.
⑵为整数为整数
为完全平方数,故只能或或.
①时,,解得或;
②时,,解得或;
③时,,无整数解,舍.
所以的值为、、、.
★★(判别式完全平方数)
已知方程的两根都是整数,求整数的值.
由已知,为完全平方数,
设(为自然数),即
故,或,或,或
解得.
★★(消参)
试确定一切有理数,使得关于的一元二次方程有根且只有整数根.
当时,原方程化为,解得.
当时,设一元二次方程的两个实根为、,其中
∴,
∴,即
∴、、、;、,,
∴、、、;∴,,,
综上,,,,.
★★★★(因式分解+消参)
已知关于的方程的根都是整数,求实数的值.
(因式分解消参求整数根)
首项分解:
⑴时:符合题意;
⑵时:符合题意;
⑶且时:
解得,,
消参,化简可得,部分因式分解
或或或
或或(舍)或
代入可得,,
综上所述:的值为,,,,.
不定方程
定义:不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),其特点是往往有无穷多个解,不能唯一确定.
题型一、类型
设、、、为整数,则不定方程有:
定理1:若且不能整除,则不定方程没有整数解;
定理2:若是不定方程的一组整数解(称为特解),则
(为整数)是方程的全部整数解(称为通解).
定理3:若是不定方程,的特解,则是方程
的一个特解.
题型二、类型
例如,求的整数解.基本解法有两种:
①部分因式分解为,此时解显然有有限组,特别注意不要漏掉负数解.
②分离整数为,此时容易求得的值,进一步求得.
因式分解法:对方程的一边进行因式分解,另一边作质因式分解,然后对比两边,转而求解若干个方程组;因式分解法是不定方程中最基本的方法,其理论基础是整数的唯一分解定理.
题型三、类型
二元二次方程的整数解常用两类方法:
方法一:适当选取主元,将方程看做关于某未知数的一元二次方程;
方法二:配方,若可配方为形式,则可对不大于的平方数进行枚举讨论.
常见考法:
⑴求不定方程的整数解;
⑵判定不定方程是否有解;
⑶判定不定方程的解的个数(有限个还是无限个).
求整系数不定方程的正整数解,通常有以下步骤:
⑴判断有无整数解;
⑵求出一个特解;
⑶写出通解;
⑷注意特殊条件:如不定方程的正整数解.
★★(类型一)
⑴求方程的整数解.
⑵求不定方程的正整数解的个数.
⑴
∴当时,,即有一组解为
∴方程的整数解为(为整数)
⑵方程的整数解为(为整数)
∵,,为整数;∴∴方程共有组正整数解
★★(类型二)
⑴求方程的整数解;
⑵求方程的全部整数解.
⑴因式分解,得
∴,,,
∴方程的整数解为,,,
⑵,,,,
★★★(类型三)
⑴求不定方程的全部整数解;
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