第6讲 自招专题之方程整数解问题 自招A班（学生版）.docxVIP

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PAGE11/自招A班9年级第六讲

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自招专题之方程整数解问题第六讲

自招专题之方程

整数解问题

第六讲

一元二次方程

一、含参一元二次方程的整数根问题常用解法：

⑴因式分解法直接求解：先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除理论，求解．

⑵判别式法：在二次方程有根的前提下，通过判别式确定字母或根的范围，运用枚举法讨论，利用平方数的性质，不定方程分析等方法求解．

⑶韦达定理法消参：由根与系数的关系得到用待定字母表示的两根和、积式，从中消去待定字母，得到两整数根之间的关系式，再通过因式分解和整数性质求解．

⑷巧选主元：若运用相关方法直接求解困难时，可选取字母为主元，结合整除知识求解．

二、对于整系数一元二次方程（，为整数）：

是完全平方数方程有有理根；

非完全平方数方程有无理根．

★★（因分）

⑴已知关于的方程的根都是整数，则满足条件的整数的值为________．

⑵关于的方程至少有一个正整数根，正整数的值为_______．

★★★（奇偶分析）

⑴一元二次方程中，若、都是偶数，是奇数，则这个方程（）

.有整数根.没有整数根

.没有有理数根.没有实数根

⑵方程的根的情况为（）

（）没有实数根；（）有整数根；（）有正数根；

（）两根的倒数和小于；（）以上结论都不对．

⑶给出四个命题：①整系数方程中，若为一个完全平方数，则方程必有有理根；②整系数方程中，若方程有有理数根，则为完全平方数；③无理数系数方程的根只能是无理数；④若均为奇数，则方程没有有理数根，其中真命题是________．

★★★（判别式范围）

关于的方程的两个根分别为，．

⑴若，求的值；

⑵若，均为整数，求的值．

★★（判别式完全平方数）

已知方程的两根都是整数，求整数的值．

★★（消参）

试确定一切有理数，使得关于的一元二次方程有根且只有整数根．

★★★★（因式分解+消参）

已知关于的方程的根都是整数，求实数的值．

不定方程

定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定．

题型一、类型

设、、、为整数，则不定方程有：

定理1：若且不能整除，则不定方程没有整数解；

定理2：若是不定方程的一组整数解（称为特解），则

（为整数）是方程的全部整数解（称为通解）．

定理3：若是不定方程，的特解，则是方程

的一个特解．

题型二、类型

例如，求的整数解．基本解法有两种：

①部分因式分解为，此时解显然有有限组，特别注意不要漏掉负数解．

②分离整数为，此时容易求得的值，进一步求得．

因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转而求解若干个方程组；因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理论基础是整数的唯一分解定理．

题型三、类型

二元二次方程的整数解常用两类方法：

方法一：适当选取主元，将方程看做关于某未知数的一元二次方程；

方法二：配方，若可配方为形式，则可对不大于的平方数进行枚举讨论．

常见考法：

⑴求不定方程的整数解；

⑵判定不定方程是否有解；

⑶判定不定方程的解的个数（有限个还是无限个）．

求整系数不定方程的正整数解，通常有以下步骤：

⑴判断有无整数解；

⑵求出一个特解；

⑶写出通解；

⑷注意特殊条件:如不定方程的正整数解．

★★（类型一）

⑴求方程的整数解．

⑵求不定方程的正整数解的个数．

★★（类型二）

⑴求方程的整数解；

⑵求方程的全部整数解．

★★★（类型三）

⑴求不定方程的全部整数解；

⑵方程的整数解共有________组．

★★★★

使得关于的方程有两个整数根的所有正实数为________．

★★★★

方程的非负整数解有________组．

已知方程（是非负整数）至少有一个整数根，求的值．

方程有两个整数根，试求整数的值．

试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根．

求方程的正整数解的组数．

在正整数范围中解方程．

⑴求所有的整数、，使得．

⑵求不定方程的全部整数解；

当有理数为________时，代数式的值恰好为两个连续正偶数的乘积．

已知一元二次方程的两根都是正整数，求整数的值．

试求满足方程组的所有正整数组．

求的整数解．

是否存在正整数、、，使得．

已知实数、、、满足，

则________．

求不定方程的整数解．