第7讲 自招专题之圆与相似 自招A班（教师版）.docxVIP

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PAGE9/自招A班9年级第七讲

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自招专题之圆与相似第七

自招专题之

圆与相似

第七讲

★★

如图，的直径为，过点，且与内切于点．为上的点，与交于点，且．点在上，且，的延长线与交于点．

求证：．

联结，可证，可得，

★★【自招班】

如图所示，在上，，是切线，延长、交于点．

⑴求证：是切线；

⑵已知，求的值．

⑴联结，则

⑵，记，则，

★★★

如图，圆内接四边形中，.求证：．

联结对角线交于点，

★★★★【自招班】

如图，为的切线，为的割线，于点，证明：．

联结，，共圆，证

★★★★【自招A】

如图，已知切于，，于，任作割线交于点、，计算的值．

联结、、，作交于点

由射影定理：，由切割线定理

、、、四点共圆

由射影定理：，

，可证明

★★★★

如图，已知为的弦，以为直径作交于，的弦切于点．

求证：⑴；⑵．

⑴过作的切线，联，证

⑵联结，延长交于，可证

★★★【自招班】

如图，已知三顶点在上，为的中点，与相交于点，的延长线交过三点的圆于点．

⑴求证：；

⑵找出原图中相等的两条线段，并证明之．

⑴联结

⑵

★★★★【自招A】

如图，在中，直径，垂足为，点在上，的延长线交于点，交过的直线于，，连结与交于点．

⑴求证：是的切线；

⑵若点是的中点，的半径为，，求的长．

⑴略

⑵证

★★★★

如图，在中，，它的内切圆分别与边相切于点，连接与内切圆相交于另一点，连接，且．

求证：⑴；⑵．

⑴弦切角定理

⑵

★★★★

在平行四边形中，为对角线上一点，且满足，的延长线与的外接圆交于点.证明：．

先证，再证

★★★★

已知直线、均与线段为直径的半圆相切，直线与半圆相切于点，在线段上且，当直线变化时，求的最大值．

，即当最大时，原式最大

此时最小，而，最小值为，当时取到

当时，

★★★★★【自招A】

圆过梯形的两顶点，并切腰于点；圆过点并切腰于点．求证：．

延长交于点

首先得出，则四点共圆，进而得出，，进而求出即可．

★★★★★

如图，正的内切圆半径为，为内切圆上一动点，求的最小值．

联结，交于点，取中点，联结、

，，故

即求的最小值

如图，内接于直径为的圆，设，则的高的长为．

联结并延长交于，联结，证，

有

如图，与相交于两点，分别是两圆的圆心，内接于，弦交于点，交的直径于点，连接．

求证：

⑴；

⑵．

⑴易知，（同弧所对的圆周角相等），

⑵（连心线垂直平分公共弦），由垂径定理得，得

，有

如图，已知与相交于两点，是的直径，过点作的切线交于点，并与的延长线交于点，分别与，交于两点，求证：

⑴；

⑵．

⑴，两式相乘

⑵法一：联结，由上一问可证，得，由，得，

再由垂径定理即可得

法二：联结，易知，

故，∴

如图，的直径为，点是上不同于的一点，以线段为直径作交于点，过点作，交于点，交于点．求证：

⑴是的切线；

⑵．

⑴联结，

⑵联结，由垂径，，故.又，，，

．