第11讲 直角三角形存在性问题 自招自招A（教师版）.docxVIP

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PAGE12/9年级自招自招A班第11讲

第十一讲直角三角形的存在性问题

第十一讲

直角三角形的

存在性问题

直角三角形的存在性问题解题策略：

几何法（三部曲）：先分类，再画图，后计算；

代数法（三部曲）：先罗列三边代数式，再分类由勾股定理列方程，后解方程、检验；

几何与代数相结合：几何法是确定目标（画出位置）、代数法是准确定位（计算长度）．两者相结合又快又好．

如上图，已知线段和直线，在直线上找点，使为直角三角形．

分类标准：一般按照直角顶点或斜边分类

※解题工具：

①勾股定理（两点间距离公式）

②三角比

③直角三角形斜边中线等于斜边一半

④相似（三垂直）

⑤（中考慎用）

与直角相关的相似模型．

★★★

⑴如图，在中，，，是射线上的一个动点，，则当为直角三角形时，的长为________．

⑵如图，点在线段上，，，为射线，且，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿射线做匀速运动，设运动时间为秒．当是直角三角形时，求的值．

⑴【南昌中考】或或

⑵

①当时，∵，∴，即

②当时，过作交于点，

∴，（舍）

综上所述，当是直角三角形时，或．

坐标系内的直角三角形存在性问题

【自招班】★★

已知抛物线（）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，且．

⑴求抛物线的解析式；

⑵求点到直线的距离；

⑶将沿直线翻折，使点和重合，联结，点是的中点，在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

⑴当时，，解得，，

∴点的坐标为，点的坐标为

∴，即

当时，，∴，即

∴抛物线解析式为

⑵作于，∴

∴，即点到直线的距离为

⑶，

易知：直线：

①时：在直线上，联立，解得，

的坐标为或

②时：可求得直线：，

联立，解得，

的坐标为

综上所述，点坐标为，，

★★★

如图，抛物线过点、．为线段上一个动点（点与点不重合），过点作垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点、．

⑴求直线的解析式和抛物线的解析式；

⑵如果点是的中点，那么求此时点的坐标；

⑶如果以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．

⑴直线的解析式为；

把，代入得，解得，

∴抛物线解析式为；

⑵∵，轴∴，，

∴，，

而，得，解得（舍去），，

∴点坐标为；

⑶①若，则轴

②若，作轴于，则（三垂直）

得，即，解得（舍去），，

此时点的坐标为；

综上所述，点的坐标为或．

★★★

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线．

⑴求点的坐标（用含的代数式表示）；

⑵联结、，若的面积为，求此抛物线的表达式；

⑶在第⑵小题的条件下，点为轴正半轴上一点，点与点，点与点关于点成中心对称，当为直角三角形时，求点的坐标．

【青浦一模】

⑴点

⑵由得，∴

⑶设点的坐标为．过点作轴，垂足为点．

由题意知，，，

∴，，

①当时，，解得

②当时，，即，解得

③当时，，无解

综上所述，或．

提示：可以用三垂直相似解决．

【自招A】★★★★

已知：如图，直线与轴、轴分别交于、两点，动点从点出发向点运动（运动到点停止），过作交轴于点；对称轴过点且顶点为的抛物线始终经过点，过作交抛物线于点，交于点，联结、、、．设的运动速度是个单位长度/秒，运动时间为秒．

⑴用含代数式分别表示、、的长；

⑵在整个运动过程中是否存在点，令？若存在，求出的值，并判断此时四边形的形状且说明理由；若不存在，请说明理由；

⑶当是直角三角形，且抛物线的顶点恰好在上时，求抛物线的解析式．

【·衢州一模】

⑴；；

⑵法一：

∵；∴

∴，即；∴

又∵、关于直线对称；∴，此时四边形为菱形

法二：使用字型，

⑶

①当时；此时，∴

，，∴为顶点

又∵；∴

②当时，

此时，，；∴

类情况①，；∴．

∴综上所述，抛物线解析式为或

几何背景下的直角三角形存在性问题

★★★

如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点与点关于直线对称，联结、．

⑴求底边上的高；

⑵设与交于点，当为直角三角形时，求的长；

⑶联结，当是直角三角形时，求的长．

⑴易得，底边上的高为

⑵当为时，为的平分线，易得，

当时，，易得，

⑶当时，为直角三角形，易得，

当时，为直角三角形，易得，

★★★★

已知：如图，在菱形中，，联结，．点是射线上的一个动点（点不与点重合），联结，与对角线相交于点，联结．

⑴求证：；

⑵当点在线段上时，设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；

⑶当点在线段的延长线上时，若是直角三角形，求线段的长．

【·青浦一模】

⑴证即可．