第11讲 直角三角形存在性问题 自招自招A（学生版）.docxVIP

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PAGE12/9年级自招自招A班第11讲

第十一讲直角三角形的存在性问题

第十一讲

直角三角形的

存在性问题

直角三角形的存在性问题解题策略：

几何法（三部曲）：先分类，再画图，后计算；

代数法（三部曲）：先罗列三边代数式，再分类由勾股定理列方程，后解方程、检验；

几何与代数相结合：几何法是确定目标（画出位置）、代数法是准确定位（计算长度）．两者相结合又快又好．

如上图，已知线段和直线，在直线上找点，使为直角三角形．

分类标准：一般按照直角顶点或斜边分类

※解题工具：

①勾股定理（两点间距离公式）

②三角比

③直角三角形斜边中线等于斜边一半

④相似（三垂直）

⑤（中考慎用）

与直角相关的相似模型．

★★★

⑴如图，在中，，，是射线上的一个动点，，则当为直角三角形时，的长为________．

⑵如图，点在线段上，，，为射线，且，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿射线做匀速运动，设运动时间为秒．当是直角三角形时，求的值．

坐标系内的直角三角形存在性问题

【自招班】★★

已知抛物线（）与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，且．

⑴求抛物线的解析式；

⑵求点到直线的距离；

⑶将沿直线翻折，使点和重合，联结，点是的中点，在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

★★★

如图，抛物线过点、．为线段上一个动点（点与点不重合），过点作垂直于轴的直线与直线和抛物线分别交于点、．

⑴求直线的解析式和抛物线的解析式；

⑵如果点是的中点，那么求此时点的坐标；

⑶如果以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标．

★★★

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点和点，与轴交于点，对称轴为直线．

⑴求点的坐标（用含的代数式表示）；

⑵联结、，若的面积为，求此抛物线的表达式；

⑶在第⑵小题的条件下，点为轴正半轴上一点，点与点，点与点关于点成中心对称，当为直角三角形时，求点的坐标．

【自招A】★★★★

已知：如图，直线与轴、轴分别交于、两点，动点从点出发向点运动（运动到点停止），过作交轴于点；对称轴过点且顶点为的抛物线始终经过点，过作交抛物线于点，交于点，联结、、、．设的运动速度是个单位长度/秒，运动时间为秒．

⑴用含代数式分别表示、、的长；

⑵在整个运动过程中是否存在点，令？若存在，求出的值，并判断此时四边形的形状且说明理由；若不存在，请说明理由；

⑶当是直角三角形，且抛物线的顶点恰好在上时，求抛物线的解析式．

几何背景下的直角三角形存在性问题

★★★

如图，在中，，，，点是边上的一个动点，点与点关于直线对称，联结、．

⑴求底边上的高；

⑵设与交于点，当为直角三角形时，求的长；

⑶联结，当是直角三角形时，求的长．

★★★★

已知：如图，在菱形中，，联结，．点是射线上的一个动点（点不与点重合），联结，与对角线相交于点，联结．

⑴求证：；

⑵当点在线段上时，设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；

⑶当点在线段的延长线上时，若是直角三角形，求线段的长．

★★★★★

如图，在直角梯形中，，，对角线交于点，已知，点是射线上任意一点，过点作，垂足为点，交射线于点，射线于点．

⑴当点是线段中点时，求线段的长；

⑵当点在线段上时（点不与重合），设，求关于的函数解析式，并指出的取值范围；

⑶联结，如果线段与直角梯形中的一条边（除外）垂直时，求的值．

★★★★★

已知：在梯形中，，，，点在对角线上，且，的延长线与射线、射线分别相交于点、．设，的面积为

⑴求证：；

⑵如图，当点在线段上时，求关于的函数解析式，并写出它的定义域；

⑶如果是直角三角形，求的面积．

如图，已知中，，，点在上从向运动，点在、上沿运动，点、分别从点、同时出发，速度均为，当其中一点到达终点时两点同时停止运动，则当运动时间时，为直角三角形．

备用图

备用图备用图

如图，在直角三角形中，直角边，．设、分别为，上的动点，在点自点沿方向向点作匀速移动的同时，点自点沿方向向点作匀速移动，它们移动的速度均为每秒，当点到达点时，点就停止移动．设、移动的时间秒．

⑴写出的面积与时间之间的函数表达式，并写出的取值范围．

⑵能否与相似？若能，求的值；若不能，说明理由．

已知正方形的边长为，点、均在直线上，且，

⑴求；

⑵在直线上是否存在点，使、、三点围成的三角形是直角三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

如图，直角梯形中，，，，．动点以每秒个单位的速度，从点沿线段向