2025年高考数学复习之小题狂练600题（解答题）：函数应用（10题）.docx

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2025年高考数学复习之小题狂练600题（解答题）：函数应用（10题）

一．解答题（共10小题）

1．（2024?辽宁模拟）某地区未成年男性的身高x（单位：cm）与体重平均值y（单位：kg）的关系如下表1：

表1未成年男性的身高与体重平均值

身高/cm

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

体重平均值/kg

6.13

7.90

9.99

12.15

15.02

17.50

20.92

26.86

31.11

38.85

47.25

55.05

直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地描述未成年男性的身高与体重平均值之间的关系．为使函数拟合度更好，引入拟合函数和实际数据之间的误差平方和、拟合优度判断系数R2（如表2）．误差平方和越小、拟合优度判断系数R2越接近1，拟合度越高．

表2拟合函数对比

函数模型

函数解析式

误差平方和

R2

指数函数

y＝2.004e0.0197x

6.6764

0.9976

二次函数

y＝0.0037x2﹣0.431x+19.6973

8.2605

0.9971

幂函数

y＝0.001x2.1029

74.6846

0.9736

（1）问哪种模型是最优模型？并说明理由；

（2）若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基础．假设身高与骨细胞数量成正比，比例系数为k1；体重与肌肉细胞数量成正比，比例系数为k2．记时刻t的未成年时期骨细胞数量G(t)=G0er1t，其中G0和r1分别表示人体出生时骨细胞数量和增长率，记时刻t的未成年时期肌肉细胞数量J(t)=J0er2

（3）在（2）的条件下，若k2J0(1k1G

注：e0.985≈2.67781，502.1029≈3739.07；婴儿体重y∈[2.5，4）符合实际，婴儿体重y∈[4，5）较符合实际，婴儿体重y∈[5，6）不符合实际．

2．（2024?汕头一模）2023年11月，我国教育部发布了《中小学实验教学基本目录》，内容包括高中数学在内共有16个学科900多项实验与实践活动．

我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头．结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到．

假设小明在果园中一共会遇到n颗番石榴（不妨设n颗番石榴的大小各不相同），最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前k（1≤k＜n）颗番石榴，自第k+1颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗．

设k＝tn，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为P．

（1）若n＝4，k＝2，求P；

（2）当n趋向于无穷大时，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时t的值．

（取1k

3．（2024?北京模拟）如图，某大学将一矩形ABCD操场扩建成一个更大的矩形DEFG操场，要求A在DE上，C在DG上，且B在EG上．若AD＝30米，DC＝20米，设DG＝x米（x＞20）．

（1）要使矩形DEFG的面积大于2700平方米，求x的取值范围；

（2）当DG的长度是多少时，矩形DEFG的面积最小？并求出最小面积．

4．（2024?苏州模拟）生物学中，我们常用Sigmoid型曲线描述当某生态系统中存在某一物种的天敌且食物、空间等资源也不充足时，该物种种群数量随时间的变化．利用该曲线，从事有关生物行业的一些人们可以依据定义在R上的函数f(x)=a

（1）记f（x）的导数为f′（x），若f′（x）＝f（x）[1﹣f（x）]，求a；

（2）若y＝K（K＞0）是f（x）的渐近线，则我们称K为该生态系统的K值．某鱼塘的某种鱼的种群数量变化满足Sigmoid模型，其K值为K．通过计算求该鱼塘中该种鱼种群数量为多少时，该鱼塘可持续获得最大捕捞量（即f（x）瞬时变化率最大）．

5．（2024?义乌市模拟）若函数f（x）满足以下三个条件，则称f（x）为SG﹣L函数．①定义域为N*；②对任意x∈N*，f（x）∈N*；③对任意正整数x1，x2，当x1+x2≥3时，有（f（x1+x2）﹣f（x1）﹣f（x2））（f（x1+x2）﹣f（x1）﹣f（x2）﹣1）≤0．若给定SG﹣L函数f（x）某几个函数值，在满足条件①②③的情况下，可能的f（x）如果有k种，分别为f1（x），f2（x），…，fk（x）．

那么我们记F（n）等于f1（n），f2（n），…，fk（n）的最大值．这样得到的F