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PAGE3/9年级自招自招A班第12讲
第十二讲平行四边形存在性问题
第十二讲
平行四边形
存在性问题
★
平行四边形的性质以及判定.
性质:①平行四边形的对边相等;②平行四边形的对角相等;
③平行四边形的对角线互相平分.
④平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点.
判定:①定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形
⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形
★
矩形的性质及判定.
性质:①边的性质:对边平行且相等;②角的性质:四个角都是直角.
③对角线性质:对角线互相平分且相等.
④对称性:矩形是中心对称图形,也是轴对称图形.
判定:①有一个角是直角的平行四边形是矩形.
②对角线相等的平行四边形是矩形.
③有三个角是直角的四边形是矩形.
★
菱形的性质及判定.
性质:①对边平行且四边相等.②邻角互补,对角相等.
③对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.
④菱形是中心对称图形,也是轴对称图形.
⑤菱形的面积等于底乘以高,等于对角线乘积的一半.
判定:①一组邻边相等的平行四边形是菱形.
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
③四边相等的四边形是菱形.
⑴点的存在性——平行四边形.
方法与技巧:已知以点、点为顶点的四边形为平行四边形,寻找平行四边形的另外两个顶点.
①为边:平移,利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形.
②为对角线:旋转,利用对角线互相平分的四边形为平行四边形.
⑵点的存在性——特殊平行四边形
方法与技巧:在“平行四边形”的前提下,根据所要求的特殊平行四边形的性质进行求解
性质
判定
矩形
矩形的四个角都是直角.
矩形的两条对角线相等.
三个角是直角的四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
菱形
菱形的四条边都相等.
菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
四条边都相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
①矩形存在性:转化为直角三角形存在性,然后对称补全
②菱形存在性:转化为等腰三角形存在性,然后对称补全
★涉及到的函数知识点:
中点公式:若在平面直角坐标系中,,
则线段的中点的坐标为
两直线平行:在坐标系中,直线:,直线:,若,则且
两直线垂直:在坐标系中,直线:,直线:,若,则【拓】
两点间距离公式:已知点,点,则
几何背景下的平行四边形存在性问题
★★
如图,已知矩形,,,是上一动点,、、分别是、、的中点.
⑴求证:四边形是平行四边形;
⑵当为何值时,四边形是菱形;
⑶当为何值时,四边形是矩形.
⑴∵、为中位线,
∴四边形是平行四边形;
⑵若四边形是菱形,则
在与中,,
∴当时,四边形是菱形;
⑶若四边形是矩形,则,记,
可证:
有,即,
解得或
∴当或时,四边形是矩形.
★★★
已知:如图,在直角梯形中,,以为原点建立平面直角坐标系,,,三点的坐标分别为,,,点为线段的中点,动点从点出发,以每秒个单位的速度,沿折线的路线移动,移动的时间为秒.
⑴求直线的解析式;
⑵若动点在线段上移动,当为何值时,四边形的面积是梯形面积的?
⑶动点从点出发,沿折线的路线移动过程中,设的面积为,请直接写出与的函数关系式,并指出自变量的取值范围;
⑷当动点在线段上移动时,能否在线段上找到一点,使四边形为矩形?请求出此时动点的坐标;若不能,请说明理由.
⑴直线的解析式为
⑵
梯形的面积,∴,解得,
当时,四边形的面积是梯形的面积的
⑶①当在线段上时,,
②当在线段上时,,
③当在线段上时,,
⑷四边形不可能成为矩形,说理如下:
当时,作交轴于
在中,,
在中,,
∴,因此四边形不是矩形
坐标系内的平行四边形存在性问题
★★★
如图,二次函数的图像与轴相交于、两点(点在点的左侧),与轴相交于点,已知.
⑴求抛物线与直线的函数解析式;
⑵若点是抛物线在第二象限部分上的一动点,四边形的面积为,求关于的函数关系;
⑶点为抛物线上的任意一点,点为轴上任意一点,当以为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出满足条件的所有点的坐标.
【·宝山一模】
⑴抛物线解析式:
直线:
⑵
∴
⑶,,
★★★
已知:如图,在平面直角坐标系中,抛物线的图像与轴交于点,与轴交于点,顶点在直线上,将抛物线沿射线的方向平移,当顶点恰好落在轴上的点处时,点落在点处.
⑴求这个抛物线的解析式;
⑵求平移
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