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2025年高考数学复习之小题狂练600题（解答题）：一、二次函数及方程、不等式（10题）

一．解答题（共10小题）

1．（2024?莲湖区校级三模）已知p：|2x﹣5|≤3，q：x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a≤0．

（1）若p是真命题，求对应x的取值范围；

（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．

2．（2024?东兴区校级模拟）已知2x2+y2﹣2xy﹣2x﹣1＝0．

（1）若y＞x＞1，求y的最大值，并求出此时x的值；

（2）若x＞1且x＞y，求2x﹣y的最大值．

3．（2024?北京模拟）已知关于x的不等式ax2+5x﹣2a+1＜0的解集是M．

（1）若﹣3∈M，求实数a的取值范围；

（2）若M={x|m＜x＜m+7

4．（2023?南阳模拟）已知函数f（x）＝x2+2ax+2．

（1）当a＝1时，求函数f（x）在[﹣2，3]上的值域；

（2）当a＝﹣1时，求函数f（x）在[t，t+1]上的最大值．

5．（2023?南阳模拟）已知集合A是函数y＝lg（20﹣8x﹣x2）的定义域，集合B是不等式x2﹣2x+1﹣a2≥0（a＞0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．

（1）若A∩B＝?，求实数a的取值范围；

（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

6．（2023?和平区校级一模）在①f（4）＝﹣1，f（3）＝2，②当x＝2时，f（x）取得最大值3，③f（x+2）＝f（2﹣x），f（0）＝﹣1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．

问题：已知函数f（x）＝﹣x2﹣2ax+b，且_______．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域为[3m﹣2，3n﹣2]，求m+n的值．

7．（2022?宝山区校级二模）“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏性和挑战性极强．如图：一个运动员从起滑门点A出发，沿着助滑道曲线f(x)=-b2-x2(-b≤x≤0)滑到台端点B起跳，然后在空中沿抛物线g（x）＝ax2﹣20ax﹣b（x＞0）飞行一段时间后在点C着陆，线段BC的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩．已知g（x）＝ax2﹣20ax﹣b在区间[0

（1）求实数a，b的值及助滑道曲线AB的长度．

（2）若运动员某次比赛中着陆点C与起滑门点A的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米）．

8．（2022?青浦区二模）设函数f（x）＝x2+px+q（p，q∈R），定义集合Df＝{x|f（f（x））＝x，x∈R}，集合Ef＝{x|f（f（x））＝0，x∈R}．

（1）若p＝q＝0，写出相应的集合Df和Ef；

（2）若集合Df＝{0}，求出所有满足条件的p，q；

（3）若集合Ef只含有一个元素，求证：p≥0，q≥0．

9．（2024?北京自主招生）求R上方程x2﹣13[x]+11＝0的解的个数．

10．（2023秋?邢台期末）已知关于x的不等式kx2+kx﹣1＜0．

（1）若不等式的解集为{x|﹣2＜x＜1}，求实数k的值；

（2）若不等式的解集为R，求实数k的取值范围．

2025年高考数学复习之小题狂练600题（解答题）：一、二次函数及方程、不等式（10题）

参考答案与试题解析

一．解答题（共10小题）

1．（2024?莲湖区校级三模）已知p：|2x﹣5|≤3，q：x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a≤0．

（1）若p是真命题，求对应x的取值范围；

（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．

【考点】一元二次不等式及其应用；充分条件与必要条件．

【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．

【答案】（1）[1，4]；

（2）[3，4]．

【分析】（1）解绝对值不等式即可得出答案；

（2）由p是q的必要不充分条件，可得a-

【解答】解：（1）∵p：|2x﹣5|≤3是真命题，∴|2x﹣5|≤3，

∴﹣3≤2x﹣5≤3，解得1≤x≤4，

∴x的取值范围是[1，4]．

（2）由（1）知：p：1≤x≤4，q：x2﹣（2a﹣2）x+a2﹣2a≤0即a﹣2≤x≤a，

因为p是q的必要不充分条件，

所以a-

解得：3≤a≤4，

综上所述，a的取值范围是[3，4]．

【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查必要不充分条件、含绝对值不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2．（2024?东兴区校级模拟）已知2x2+y2﹣2xy﹣2x﹣1＝0．

（1）若y＞x＞1，求y的最大值，并求出此时x的值；

（2）若x＞1且x＞y，求2x﹣y的最大值．

【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系；运用基本不等式求最值；二次函数的应用．

【专题】转化思想；综合法；不等式；逻辑推理；数学运算．

【答案