第13讲 梯形存在性问题 自招自招A（教师版）.docxVIP

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PAGE15/9年级自招自招A班第13讲

第十三讲梯形存在性问题

第十三讲

梯形

存在性问题

⑴点的存在性——梯形．

方法与技巧：已知和直线，在上找点，使以点、、、为顶点的四边形为梯形．

①分别过点、、作、、的平行线与直线相交．

②检验以点、、、为顶点的四边形是否为平行四边形．

⑵点的存在性——特殊梯形

方法与技巧：在“梯形”的前提下，根据所要求的特殊的平行四边形的性质进行求解

性质

判定

等腰梯形

同一底上的两底角相等

两条对角线相等

在同一底边上的两个内角相等的梯形

对角线相等的梯形

直角梯形

直角梯形斜腰的中点到直角腰的二端点距离相等

一腰垂直于底的梯形．

★涉及到的函数知识：

中点公式：若在平面直角坐标系中，，

则线段的中点的坐标为

两直线平行：在坐标系中，直线：，直线：，若，则且

两直线垂直：在坐标系中，直线：，直线：，若，则【拓】

两点直线距离公式：已知点，点，则

★

⑴如图：、两点的坐标分别为，，点在轴上且以、、、为顶点的四边形为梯形，则点坐标为________．

或

⑵如图，已知点、、，过点向右作平行于轴的射线，点是射线上的动点，联结，以为边在其左侧作等边，联结、，若四边形为梯形，则：

①当为梯形的底时，点的横坐标是________．

②当为梯形的腰时，点的横坐标是________．

① ②或

坐标系内的梯形存在性问题

★★

如图，抛物线与轴正半轴交于点，矩形的顶点的坐标为，抛物线与边右侧的一个交点为．在这个抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

易得，将代入，得

以、、、为顶点的四边形是梯形，分以下三类情况：

①当时：求得直线为，直线解析式为

联立：，解得；

②当时：求得直线为，直线解析式为

联立：，解得；

③当时：将代入，得

综上所述：，，．

★★★

在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点，与双曲线有一个公共点，它的横坐标为，过点作直线轴，与二次函数图像交于另一点，直线的截距是

⑴求二次函数的解析式；

⑵求直线的表达式；

⑶平面内是否存在点，使、、、为顶点的四边形是等腰梯形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由．

【·普陀二模】

⑴由题意得，，，代入得，

⑵对称轴直线，，又∴

⑶分三种情况分类讨论即可

①时，不存在，此时

②时，，过点作平行线，∴

③时，同理可得点，

又，∴，，∴

综上所述，,

★★★

在平面直角坐标系中，抛物线的解析式是，点的坐标为，平行四边形的顶点，在抛物线上，与轴交于点，已知点在抛物线上，点在轴上.

⑴写出点的坐标；

⑵当四边形是以，为腰的梯形时.

①求关于的函数解析式和自变量的取值范围；

②当梯形的两底的长度之比为时，求的值.

⑴∵是平行四边形，

∴，且，

∵，在抛物线上，轴是抛物线的对称轴，

∴，的横坐标分别是和，

代入得，，，即

⑵①过点作轴，设垂足为，则，，

由，得：,即：,

∵在上，∴

当点与点重合时，梯形不存在，此时，，解得

当点与点或重合时，四边形为平行四边形，此时，

∴的取值范围是且的所有实数

②分两种情况讨论：

当时，则点在线段上，

∵，，

∴点纵坐标为点纵坐标的倍，即，解得，

∴

当时，则点在的延长线上，

∵，，

∴点纵坐标为点纵坐标的倍，即，解得

当时，得

当时，得.

★★★

如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，开口向上的抛物线与轴交于点和点，为抛物线的顶点，直线与抛物线交于点．

⑴求抛物线的解析式；

⑵点在轴上，且和相似，求点的坐标；

⑶若直角坐标平面中的点和点、、构成直角梯形，且面积为，试求点的坐标．

【·徐汇二模】

⑴，顶点的坐标为

⑵，

当时，，舍

当时，，即，

∴或

⑶时，，解得，则

时，，解得，则

综上所述，存在点或，使四边形为等腰梯形

几何背景下的梯形存在性问题

★★★

如图，在中，，，．点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点匀速运动，到达点后立刻以原来的速度沿返回；点从点出发沿以每秒个单位长的速度向点匀速运动．伴随着、的运动，保持垂直平分，且交于点，交折线于点．点、同时出发，当点到达点时停止运动，点也随之停止．设点、运动的时间是秒（）．

⑴当时，________，点到的距离是________；

⑵在点从向运动的过程中，求的面积与的函数关系式；

⑶在点从向运动的过程中