专题04 函数零点问题之分段分析法模型（解析版）.docxVIP

专题04函数零点问题之分段分析法模型

一、单选题

1．（2023·浙江宁波·高三统考期末）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为函数至少存在一个零点

所以有解

即有解

令，

则

因为，且由图象可知，所以

所以在上单调递减，令得

当时，单调递增

当时，单调递减

所以

且当时

所以的取值范围为函数的值域，即

故选：A

2．（2023·黑龙江·高三大庆市东风中学校考期中）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】令,则，设，令，，则，发现函数在上都是单调递增，在上都是单调递减，故函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点需满足，即．应选答案D．

3．（2023·湖北·高三校联考期中）设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意得函数的定义域为．

又，

∵函数至少存在一个零点，

∴方程有解，

即有解．

令，

则，

∴当时，单调递增；当时，单调递减．

∴．

又当时，；当时，．

要使方程有解，则需满足，

∴实数的取值范围是．

故选D．

4．（2023·福建厦门·厦门外国语学校校考一模）若至少存在一个，使得方程成立．则实数的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】原方程化简得:有解,令,,当时,,所以f(x)在单调递减,当xe时,,所以f(x)在单调递增..所以.选B.

5．（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】依题意得，函数至少存在一个零点，且，

可构造函数和，

因为，开口向上，对称轴为，所以为单调递减，为单调递增；

而，则，由于，所以为单调递减，为单调递增；

可知函数及均在处取最小值，所以在处取最小值，

又因为函数至少存在一个零点，只需即可，即：

解得：.

故选：D.

6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（其中为自然对数的底数）至少存在一个零点，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】令，即

令，

则函数与函数的图象至少有一个交点

易知，函数表示开口向上，对称轴为的二次函数

，

函数在上单调递增，在上单调递减，

作出函数与函数的草图，如下图所示

由图可知，要使得函数与函数的图象至少有一个交点

只需，即

解得：

故选：B

7．（2023·全国·高三校联考专题练习）已知函数的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数的图象上，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】令，则由题意可得函数的图象与函数的图象有三个交点，即方程有三个不同的实数根．由可得，即，令，则直线与函数的图象有三个交点，易得，当或时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值为，极大值为．又，，所以当时，直线与函数的图象有三个交点，故实数的取值范围为．故选B．

8．（2023·全国·高三假期作业）若存在两个正实数、，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（????）．

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】由得，设，，

则，则有解，设，

为增函数，，

当时，递增，当时，递减，

所以当时函数取极小值，，即，

若有解，则，即，

所以或，

故选：B．

9．（2023·全国·高三专题练习）若存在正实数x，y，使得等式成立，其中e为自然对数的底数，则a的取值范围为（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】依题意存在正实数x，y，使得等式成立，

，

当时，，不符合题意，所以

令，，，

构造函数，，

，所以在上递增，

，

所以在区间递减；在区间递增.

所以的最小值为.

要使有解，

则①，

当时，①成立，

当时，.

所以的取值范围是.

故选：D

二、填空题

10．（2023·全国·模拟预测）若函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点，则实数的取值范围为______．

【答案】

【解析】函数（，是自然对数的底数，）存在唯一的零点等价于函数与函数的图像只有一个交点．

∵，，

∴函数与函数的图像的唯一交点为．

又∵，且，，

∴在上恒小于零，即在上为单调递减函数．

又∵，当且仅当，即时等号成立，且是最小正周期为2．最大值为的正弦型函数，

∴可得函数与函数的大致图像如图所示．

∴要使函数与函数的图像只有唯一一个交点，则．

∵，，

∴，解得．

对∵，∴实数的取值范围为．

故答案为：.

11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数(e为自