第3讲 韦达定理（教师版）.docxVIP

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PAGE11/自招体系7年级教师版第3讲

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韦达定理第三讲

韦达定理

第三讲

【重点】：运用一元二次方程的根与系数的关系准确解题．

【难点】：一元二次方程根与系数的关系的综合运用．

将关于的代数式，，，，，都用，表示．

,

,

，

，

．

韦达定理的认识

一．韦达定理

⑴若、是一元二次方程的根，

则，，

可以发现，．

（注：原方程可化为，也可得到，）

⑵若一元二次方程的二次项系数为，（为已知常数），

如果，它的两根为，，则有，．

【注意】一元二次方程的根与系数的关系成立的前提：

⑴该方程为一元二次方程，即二次项系数；

⑵该方程有实数根，即判别式．

二．韦达定理的逆定理

一般地，如果有两个数，满足，，那么，必定是的两个根．

特殊得，如果二次项系数设为，则以两个数，为根的一元二次方程可以写作．

写出一个一元二次方程，使它的两个根分别是和，且方程的二次项系数是．

记所得的两根分别为，，则有：，

所以所求方程可以写作．

韦达定理基础

★

求下列关于的方程的两根的和与积：

⑴；

⑵；

⑶；

⑷．

⑴因为，所以，；

⑵因为，所以原方程无实数根；

⑶因为，所以，；

⑷因为，

当即时，，；

当即时，原方程无实数根．

韦达定理化简代数式（求值、方程）——例2、3、4

★★

⑴设、是方程的两个根，则_______，_______，

_______，_______，________．

⑵已知设、是方程的两个根，则______，_______，

_______，________，________．

⑴由已知可得：，，

，

．

⑵由已知可得：，，

，

．

★★★

⑴设，是二次方程的两个根．那么．

，是二次方程的两个根；

所以，；即，；

由定理，；

原式．

⑵已知，是一元二次方程的两个实数解，且，，求和的值．

，，

，解得或

检验：分别代入判别式后，．

★★★

设为的两根，为实数；

①求证：．

②当时，求的最大值．

（复旦附中自主招生）

①由定理，，又由

所以

因为原方程有解，故

所以有．

②由，得或；

又，两边平方，有；

由定理代入可得：，解得．

所以的取值范围为或，最大值为．

韦达定理的运用

三、韦达定理的运用

⑴运用韦达定理，求方程中的参数或者代数式的值；

⑵结合根的判别式，讨论根的符号特征；

⑶韦达定理逆定理：当题干中出现两数和与两数积形式时，可将其看作方程两根，逆用韦达定理，构造一元二次方程辅助解题；

常见思路：通过韦达逆定理构造方程，方程必有根，结合判别式，求解范围．

已知根的范围、符号特征，通过韦达定理求解参数（范围）——例5、6、7

★★★

已知一元二次方程．

⑴当为何值时，方程的一个根为；

⑵当为何值时，方程的两个根互为相反数；

⑶证明：不存在实数，使方程的两个根互为倒数．

⑴若有方程有一根为，即，所以，即

检验：当时，，符合题意，故．

⑵若方程两个根互为相反数，即，所以，即

检验：当时，，符合题意，故．

⑶假设方程两个根互为倒数，即，所以，即

检验：当时，

所以不存在实数，使方程的根互为倒数．

已知关于的一元二次方程，求：

⑴为何值时，方程的两根均为正数；

⑵为何值时，方程的两根异号，且负根的绝对值大于正根的绝对值；

⑶为何值时，方程的两根都大于；

⑷为何值时，方程的两根一个大于，一个小于．

分类讨论：

易知，方程总有两实根

⑴两根均正，则

⑵一正一负，则

⑶两根均大于，则

⑷两根一个大于，一个小于，则．

★★★★

已知关于的一元二次方程，求：

⑴为何值时，方程有两个不相等的实数根；

⑵为何值时，方程的两个根一个大于，一个小于；

⑶为何值时，方程的两个根一个大于，一个小于．

⑴方程是关于的一元二次方程，即

，得

所以的取值范围是且

⑵当方程的两个根一个大于，一个小于时：

，得到

⑶当方程的两个根一个大于，一个小于时：

，得到

【注】：勿忘，此时方程才能有两根

★★★

关于的一元二次方程的两根是直角三角形的两条直角边长．

①取何值时，方程存在两个正实数根；②当斜边长是时，求的值．

①由题意可知，解得

②设直角三角形两直角边长为、，斜边长为，由题意

解得或(舍)．

韦达定理构造方程（例8、9，第四讲深入学习）

★★

不解原方程，构造一个新方程，使它的根与方程的根的关系为：

⑴大；⑵倍；⑶相反数；⑷倒数．

⑴ ⑵

⑶ ⑷

可依据韦达定理，求出新根满足的关系式再来构造方程．（主要介绍）

亦可直接根据根的数量关系构造，如⑴：再化简即可．

另外