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补上一课指、对同构

知识拓展在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数或证明不等式，部分试题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的是同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法，其实质还是指数、对数恒等式的变换.

(1)五个常见变形：

xex＝ex＋lnx，eq\f(ex,x)＝ex－lnx，eq\f(x,ex)＝elnx－x，x＋lnx＝ln(xex)，x－lnx＝lneq\f(ex,x).

(2)三种基本模式

①积型：aea≤blnbeq\o(―――――――――→,\s\up7(三种同构方式))

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：aea≤(lnb)elnb\o(――→,\s\up7(构造))f（x）＝xex，,同右：ealnea≤blnb\o(――→,\s\up7(构造))f（x）＝xlnx，,取对：a＋lna≤lnb＋ln（lnb）\o(――→,\s\up7(构造))f（x）＝x＋lnx.))

②商型：eq\f(ea,a)＜eq\f(b,lnb)eq\o(―――――――――→,\s\up7(三种同构方式))

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：\f(ea,a)＜\f(elnb,lnb)\o(――→,\s\up7(构造))f（x）＝\f(ex,x)，,同右：\f(ea,lnea)＜\f(b,lnb)\o(――→,\s\up7(构造))f（x）＝\f(x,lnx)，,取对：a－lna＜lnb－ln（lnb）\o(――→,\s\up7(构造))f（x）＝x－lnx.))

③和差型：ea±a＞b±lnbeq\o(――――――――→,\s\up7(两种同构方式))

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：ea±a＞elnb±lnb\o(――→,\s\up7(构造))f（x）＝ex±x，,同右：ea±lnea＞b±lnb\o(――→,\s\up7(构造))f（x）＝x±lnx.))

题型一积型

例1(1)(2024·南京调研)已知实数α，β满足αeα－3＝1，β(lnβ－1)＝e4，其中e是自然对数的底数，则αβ的值为________.

答案e4

解析法一αeα－3＝1，即αeα＝e3，∴α0，

β(lnβ－1)＝βlneq\f(β,e)＝e4，

即eq\f(β,e)lneq\f(β,e)＝e3，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(β,e)))·elneq\f(β,e)＝e3，

∴lneq\f(β,e)0，

令f(x)＝xex(x0)，

则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln\f(β,e)))＝f(α)＝e3，

∴f′(x)＝(x＋1)ex0恒成立，

∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

∴lneq\f(β,e)＝α，即β＝eα＋1，

∴αβ＝α·eα＋1＝e4.

法二β(lnβ－1)＝βlneq\f(β,e)＝e4，

即eq\f(β,e)lneq\f(β,e)＝e30，∴eq\f(β,e)1，

αeα－3＝1，即αeα＝e3，eα·lneα＝e3，

∴eα1，

令f(x)＝xlnx(x1)，

则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(β,e)))＝f(eα)＝e3，

∴f′(x)＝lnx＋10恒成立，

∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，

∴eq\f(β,e)＝eα，即β＝eα＋1，

∴αβ＝α·eα＋1＝e4.

(2)设实数m0，若对任意的x≥e，不等式x2lnx－meeq\f(m,x)≥0恒成立，则m的最大值为________.

答案e

解析x2lnx≥meeq\f(m,x)?xlnx≥eq\f(m,x)eeq\f(m,x)＝(eeq\f(m,x))·ln(eeq\f(m,x))，

∵m0，x≥e，∴eeq\f(m,x)1，

令f(x)＝xlnx(x1)，f′(x)＝lnx＋10，

∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，

∴f(x)≥f(eeq\f(m,x))?x≥eeq\f(m,x)，

即lnx≥eq\f(m,x)，m≤(xlnx)min＝e.

感悟提升解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，将不等式变形为f[g(x)]f[h(x)]的结构，f(x)即为外层函数，其单调性易于研究.常见变形方式：xex＝ex＋lnx，eq\f(ex,x)＝ex－lnx，eq\f(x,ex)＝elnx－x，x＋lnx＝ln(x