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补上一课与球有关的切、接问题

题型分析研究与球有关的切、接问题，既要运用多面体、旋转体的知识，又要运用球的几何性质，要特别注意多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系，解决此类问题的关键是确定球心.

题型一定义法

例1(1)(2024·宣城模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝2eq\r(2)，AC＝4，∠BAC＝45°，则三棱锥P－ABC外接球的表面积是()

A.14π B.16π

C.18π D.20π

(2)(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3eq\r(3)和4eq\r(3)，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()

A.100π B.128π

C.144π D.192π

感悟提升到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可.

训练1已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()

A.eq\f(3\r(17),2) B.2eq\r(10)

C.eq\f(13,2) D.3eq\r(10)

题型二补形法

例2(1)(2024·湖州调研)已知三棱锥P－ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为()

A.eq\r(6)π B.6π

C.24π D.8eq\r(6)π

(2)(2024·济南质检)若正四面体的表面积为8eq\r(3)，则其外接球的体积为________.

感悟提升1.补形法的解题策略

(1)侧面为直角三角形或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解；

(2)直三棱锥补成三棱柱求解.

2.正方体与球的切、接问题的常用结论

正方体的棱长为a，球的半径为R，

(1)若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；

(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；

(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.

3.若长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).

训练2(1)在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(6),2)，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为________.

(2)(2023·焦作模拟)已知三棱锥P－ABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且PA＝3eq\r(2)，PB＝PC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________.

题型三截面法

例3(1)四棱锥P－ABCD的顶点都在球O的表面上，△PAD是等边三角形，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，则球O的表面积为()

A.12π B.16π

C.20π D.32π

(2)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量可得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为()

A.eq\f(32π,3)，4 B.eq\f(9π,2)，3

C.6π，4 D.eq\f(32π,3)，3