CH22section3(高斯与斯托克公式)市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件.pptVIP

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第22章第一节、第一型曲面积分(或：对面积曲面积分)第三节、高斯(Gauss)公式与斯托克(Stokes)公式曲面积分第22章本章内容：第二节、第二型曲面积分(或：对坐标曲面积分)第四节、场论初步2/28

第3节高斯(Gauss)公式

与斯托克(Stokes)公式一、高斯(Gauss)公式二、斯托克(Stokes)公式第22章本节内容：3/28

一、高斯(Gauss)公式定理21.3设空间闭区域V由分片光滑闭曲V上有连续一阶偏导数,下面先证:函数P,Q,R在面S所围成,S方向取外侧,则有(Gauss公式)4/28

Green公式Gauss公式推广高斯(1777–1855)德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列伟大数学家,他数学成就遍布各个领域,在数论、级数、复变函数及椭圆函数论等方面都有一系列开创性贡献,他还十分重视数学应用,地测量学和磁学研究中创造和发展了最小二乘法、曲面论和位势论等.他在学术上十分慎重,代数、非欧几何、微分几何、超几何在对天文学、大恪守这么“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”.标准:返回5/28

证实:(1)设为XY型区域,则6/28

所以(2)若V不是XY–型区域,则可引进辅助面将其分割成若干个XY–型区域,故上式仍成立.正反两侧面积分正负抵消,在辅助面类似可证三式相加,即得所证Gauss公式：7/28

例1.用Gauss公式计算其中S为柱面闭域V整个边界曲面外侧.解:这里利用Gauss公式,得原式=(用柱坐标)及平面z=0,z=3所围空间思索:若S改为内侧,结果有何改变?若S为圆柱侧面(取外侧),怎样计算?8/28

例2.利用Gauss公式计算积分其中S为锥面解:作辅助面取上侧介于z=0及z=h之间部分下侧.所围区域为V,则9/28

利用重心公式,注意10/28

例3.设S为曲面取上侧,求解:作取下侧辅助面用柱坐标用极坐标11/28

在闭区域?上含有一阶和二阶连续偏导数,证实格林(Green)第一公式例4.设函数其中S是整个V边界面外侧.分析:高斯公式12/28

证:令由Gauss公式得移项即得所证公式.13/28

斯托克斯(1819-1903)英国数学物理学家.他是19世纪英国数学物理学派主要代表人物之一,其主要兴趣在于寻求解主要数学物理问题有效且普通新方法,在1845年他导出了著名粘性流体运动方程(后称之为纳维–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收敛概念.他提出斯托克斯公式是向量分析基本公式.他一生工作先后分五卷出版.14/28

二、斯托克斯(Stokes)公式定理22.4设光滑曲面S边界L是分段光滑曲线,(Stokes公式)个空间域内含有连续一阶偏导数,S侧与L正向符合右手法则,在包含S在内一证:情形1S与平行z轴直线只交于一点,设其方程为为确定起见,不妨设S取上侧(如图).则有15/28

则(利用格林公式)16/28

所以同理可证三式相加,即得斯托克斯公式;17/28

情形2曲面S与平行z轴直线交点多于一个,则可经过作辅助线面把S分成与z轴只交于一点几部分,在每一部分上应用Stokes公式,然后相加,因为沿辅助曲线方向相反两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.注意:假如S是xoy面上一块平面区域,则Stokes公式就是Green公式,故Green公式是Stokes公式特例.证毕18/28

为便于记忆,Stokes公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:19/28

例5.利用斯托克斯公式计算积分其中L为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形整个解:记三角形域为S,取上侧,则边界,方向如图所表示.利用对称性20/28

例6.L为柱面与平面y=z交线,从z轴正向看为顺时针,计算解:设S为平面z=y上被?所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦21/28

三、空间曲线积分与路径无关条件定理22.5设G是空间一维单连通域,含有连续一阶偏导数,则以下四个条件相互等价:(1)对G内任一分段光滑闭曲