补上一课　几何法求距离及线面角、二面角.docx

补上一课几何法求距离及线面角、二面角

题型分析利用几何法求线面角、二面角、距离的难点在于找到所求的角或距离，相对于向量法，几何法运算简单、不易出错.

题型一求距离

例1(1)如图，在四棱锥P－ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为()

A.2eq\r(3) B.2eq\r(5) C.eq\r(2) D.4

答案A

解析如图，取PA的中点M，连接BM，CM，

因为PB⊥平面ABCD，

又BC?平面ABCD，

所以PB⊥BC，

又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，

又PA?平面PAB，所以BC⊥PA，BC⊥PB，

因为M是PA的中点，PB＝AB，

所以BM⊥PA，

又BC⊥PA，BM∩BC＝B，BM，BC?平面BCM，

所以PA⊥平面BCM，

又CM?平面BCM，所以CM⊥PA，

即CM为点C到直线PA的距离.

在等腰Rt△PAB中，BM＝eq\f(\r(2),2)PB＝2eq\r(2)，

在Rt△BCM中，

CM＝eq\r(BM2＋BC2)＝eq\r(8＋4)＝2eq\r(3)，

故点C到直线PA的距离为2eq\r(3).

(2)(2024·安庆模拟)一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成45°角的平面所截(如图)，O为底面圆的中心，O1为截面的中心，A为截面上距离底面最小的点，A到圆柱底面的距离为1，B为截面图形弧上的一点，且∠AO1B＝60°，则点B到底面的距离是________.

答案eq\f(14－\r(7),7)

解析圆柱半径为1，截面与底边所成角为45°，

作AM⊥OO1于M，

则∠MAO1＝45°，AO1＝eq\r(2).

截面椭圆是以O1为中心，A为长轴端点的椭圆，其长轴长为2eq\r(2)，短轴长为2，

所以椭圆的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1，

作BC⊥AO1于C，

因为∠AO1B＝60°，直线O1B的方程为y＝eq\r(3)x，

所以设B(x，eq\r(3)x)，

又因为B(x，eq\r(3)x)在椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1上，

解得x＝±eq\f(\r(14),7)，

所以BO1＝eq\f(2\r(14),7)，CO1＝eq\f(2\r(14),7)cos60°＝eq\f(\r(14),7)，

过C作CD⊥OO1，

则O1D＝eq\f(\r(2),2)CO1＝eq\f(\r(7),7)，

OD＝OO1－O1D＝2－eq\f(\r(7),7)＝eq\f(14－\r(7),7)，

由于BC，CD均平行于底面，

故B点到底面的距离是eq\f(14－\r(7),7).

感悟提升1.求点线距一般要作出这个距离，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解.

2.求点面距时，若能够确定过点与平面垂直的直线，即作出这个距离，可根据条件求解，若不易作出点面距，可借助于等体积法求解.

训练1(1)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1＝2，则C到直线AB1的距离为()

A.eq\f(\r(15),5)B.eq\f(\r(10),5) C.eq\f(\r(15),3)D.eq\f(\r(30),3)

答案D

解析如图，连接CB1，

因为AB＝2，BB1＝eq\r(2)，

所以AB1＝eq\r(6)，CB1＝eq\r(6)，

AC＝2，

设AC的中点为D，连接B1D，

则B1D⊥AC，

设点C到直线AB1的距离为h，

故S△AB1C＝eq\f(1,2)×B1D×AC＝eq\f(1,2)h×AB1，

即eq\r(6－1)×2＝h×eq\r(6)，解得h＝eq\f(\r(30),3).

(2)(2024·威海模拟)已知圆柱的高和底面半径均为4，AB为上底面圆周的直径，点P是上底面圆周上的一点且AP＝BP，PC是圆柱的一条母线，则点P到平面ABC的距离为________.

答案2eq\r(2)

解析由题可得AB＝8，因为AP＝BP，

所以S△ABP＝eq\f(1,2)×8×4＝16，

因为PC⊥平面ABP，且PC＝4，

所以VC－ABP＝eq\f(1,3)×16×4＝eq\f(64,3)，

因为AP＝BP＝4eq\r(2)，

所以AC＝BC＝4eq\r(3)，

所以S△ABC＝eq\f(1,2)×8×eq\r(48－16)＝16eq\r(2)，

设点P到平面ABC的距离为d，

则VP－ABC＝eq\f(1,3)×16eq\r(2)d＝eq\f(64,3)，解得d＝2eq\r(2).

题型二求线面角

例2(2024·福州模拟)如图，在圆