专题02 导数在研究函数中的应用【考点串讲】（解析）.docxVIP

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专题02导数在研究函数中的应用

知识点1函数的单调性与其导数的正负之间的关系

定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：

f′(x)的正负

f(x)的单调性

f′(x)0

单调递增

f′(x)0

单调递减

知识点2利用导数判断函数的单调性的一般步骤

(1)确定函数y＝f(x)的定义域；

(2)求出导数f′(x)的零点；

(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．

知识点3函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系

一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：

导数的绝对值

函数值变化

函数的图象

越大

快

比较“陡峭”(向上或向下)

越小

慢

比较“平缓”(向上或向下)

知识点4函数极值的定义

（1）极小值点与极小值

若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

（2）极大值点与极大值

若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

（3）极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．

知识点5函数极值的求法与步骤

（1）求函数y＝f(x)的极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，

①如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，那么f(x0)是极小值．

（2）求可导函数f(x)的极值的步骤

①确定函数的定义域，求导数f′(x)；

②求方程f′(x)＝0的根；

③列表；

④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．

知识点6函数最值的定义

（1）一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

（2）对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值．

知识点7求函数的最大值与最小值的步骤

函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：

(1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值；

(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

考点1函数图象与导函数图象的关系

【例1】如图所示是函数的图象，其中为的导函数，则下列大小关系正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【审题】利用函数图象确定函数的单调性，由此确定的值，比较其大小.

【详解】由已知可得：函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，函数在时取极小值，所以，

所以，故选A.

【解后感悟】(1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．

(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．

【变式1-1】已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（????）

A．在上单调递增

B．曲线在处的切线斜率取得最大值

C．在处取得极小值

D．在处取得最大值

【答案】B

【解析】由图知，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，故AC错误，

在处取得最大值，所以曲线在处的切线斜率取得最大值，故B正确，

不能确定是否有最值及最值在何处取得，故D错误，

故选：B

【变式1-2】已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（????）

A．B．C． D．

【答案】B

【解析】由图可知，当时，，则函数在上为增函数，

当时，单调递增，故函数在上的增长速度越来越快，

当时，单调递减，故函数在上的增长速