专题02 导数在研究函数中的应用【考点串讲】(解析).docxVIP

专题02 导数在研究函数中的应用【考点串讲】(解析).docx

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专题02导数在研究函数中的应用

知识点1函数的单调性与其导数的正负之间的关系

定义在区间(a,b)内的函数y=f(x):

f′(x)的正负

f(x)的单调性

f′(x)0

单调递增

f′(x)0

单调递减

知识点2利用导数判断函数的单调性的一般步骤

(1)确定函数y=f(x)的定义域;

(2)求出导数f′(x)的零点;

(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间,列表给出f′(x)在各区间上的正负,由此得出函数y=f(x)在定义域内的单调性.

知识点3函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系

一般地,设函数y=f(x),在区间(a,b)上:

导数的绝对值

函数值变化

函数的图象

越大

比较“陡峭”(向上或向下)

越小

比较“平缓”(向上或向下)

知识点4函数极值的定义

(1)极小值点与极小值

若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,就把a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.

(2)极大值点与极大值

若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,就把b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

(3)极大值点、极小值点统称为极值点;极大值、极小值统称为极值.

知识点5函数极值的求法与步骤

(1)求函数y=f(x)的极值的方法

解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时,

①如果在x0附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,那么f(x0)是极大值;

②如果在x0附近的左侧f′(x)0,右侧f′(x)0,那么f(x0)是极小值.

(2)求可导函数f(x)的极值的步骤

①确定函数的定义域,求导数f′(x);

②求方程f′(x)=0的根;

③列表;

④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.

知识点6函数最值的定义

(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.

(2)对于函数f(x),给定区间I,若对任意x∈I,存在x0∈I,使得f(x)≥f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值;若对任意x∈I,存在x0∈I,使得f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值.

知识点7求函数的最大值与最小值的步骤

函数f(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:

(1)求函数f(x)在区间(a,b)上的极值;

(2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

考点1函数图象与导函数图象的关系

【例1】如图所示是函数的图象,其中为的导函数,则下列大小关系正确的是(????)

A. B.

C. D.

【答案】A

【审题】利用函数图象确定函数的单调性,由此确定的值,比较其大小.

【详解】由已知可得:函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,函数在时取极小值,所以,

所以,故选A.

【解后感悟】(1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系:在某个区间(a,b)内,若f′(x)0,则y=f(x)在(a,b)上单调递增;如果f′(x)0,则y=f(x)在这个区间上单调递减;若恒有f′(x)=0,则y=f(x)是常数函数,不具有单调性.

(2)函数图象变化得越快,f′(x)的绝对值越大,不是f′(x)的值越大.

【变式1-1】已知函数的导函数的图像如图所示,则下列结论一定正确的是(????)

A.在上单调递增

B.曲线在处的切线斜率取得最大值

C.在处取得极小值

D.在处取得最大值

【答案】B

【解析】由图知,当时,,单调递减,

当时,,单调递增,

当时,,单调递减,故AC错误,

在处取得最大值,所以曲线在处的切线斜率取得最大值,故B正确,

不能确定是否有最值及最值在何处取得,故D错误,

故选:B

【变式1-2】已知函数的导函数图象如下图所示,则原函数的图象是(????)

A.B.C. D.

【答案】B

【解析】由图可知,当时,,则函数在上为增函数,

当时,单调递增,故函数在上的增长速度越来越快,

当时,单调递减,故函数在上的增长速

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