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补上一课凹凸反转

知识拓展

1.如果要证明的不等式由指数函数、对数函数、多项式函数组合而成，往往进行指对分离，转化为证明g(x)≥h(x)，分别求g(x)min，h(x)max进行证明，由于两个函数图象的凹凸性正好相反，所以这种证明不等式的方法称为凹凸反转.

2.以下是凹凸反转常用经典模型：

经典模型一：y＝eq\f(lnx,x)(图1)或y＝eq\f(x,lnx)(图2).

推广：y＝eq\f(lnx,xn)或y＝eq\f(xn,lnx).

经典模型二：y＝xlnx(图3)或y＝xex(图4).

推广：y＝xnlnx或y＝xnex.

经典模型三：y＝eq\f(ex,x)(图5)或y＝eq\f(x,ex)(图6).

推广：y＝eq\f(ex,xn)或y＝eq\f(xn,ex).

经典模型四：y＝x－lnx(图7)或y＝x－ex(图8)，y＝ex－x(图9).

题型一隔海相望

例1已知函数f(x)＝xlnx，求证：f(x)＜2ex－2.

感悟提升如图所示，在g(x)，h(x)图象之间有一个带型区域，所以我们把它形象地称为“隔海相望”.这时必有g(x)min＞h(x)max.

训练1(2024·西安模拟)已知函数f(x)＝alnx＋x.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a＝1时，证明：xf(x)ex.

题型二一线之隔

例2设函数f(x)＝exlnx＋eq\f(2ex－1,x)，证明：f(x)＞1.

感悟提升构造的函数g(x)，h(x)，满足g(x)min＝h(x)max，如图所示，但由于g(x)，h(x)不在同一处取到最值，所以必有g(x)＞h(x).

训练2(2024·合肥模拟)已知函数f(x)＝ex＋x2－x－1.

(1)求f(x)的最小值；

(2)证明：ex＋xlnx＋x2－2x0.