江西省南昌市2024届高三第一次模拟测试数学试题含答案.docx

2024年HGT第一次模拟测试

数学

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试时间120分钟

一?单项选择题：共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（）

A. B. C. D.

2.已知复数满足，则（）

A.3 B. C.4 D.10

3.已知等差数列的前项和为，若，则（）

A.51 B.34 C.17 D.1

4.已知，则是的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

5.已知抛物线的焦点为是抛物线在第一象限部分上一点，若，则抛物线在点A处的切线方程为（）

A. B.

C. D.

6已知，则（）

A. B.

C. D.

7.已知函数，则下列结论中错误的是（）

A.是奇函数 B.

C.在上递增 D.在上递增

8.木桶效应，也可称为短板效应，是说一只水桶能装多少水取决于它最短的那块木板.如果一只桶的木板中有一块不齐或者某块木板有破洞，这只桶就无法盛满水，此时我们可以倾斜木桶，设法让桶装水更多.如图，棱长为2的正方体容器，在顶点和棱的中点处各有一个小洞（小洞面积忽略不计），为了保持平衡，以为轴转动正方体，则用此容器装水，最多能装水的体积（）

A.4 B. C.6 D.

二?多项选择题：共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知空间中两条不同的直线和两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A.若，则

B.若，则

C若，则

D若，则

10.已知圆与直线交于两点，设的面积为，则下列说法正确的是（）

A.有最大值2

B.无最小值

C.若，则

D.若，则

11.某环保局对辖区内甲?乙两个地区的环境治理情况进行检查督导，若连续10天，每天空气质量指数（单位：）不超过100，则认为该地区环境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标.已知甲乙两地区连续10天检查所得数据特征是：甲地区平均数为80，方差为40，乙地区平均数为70，方差为90.则下列推断一定正确的是（）

A.甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的平均数是75

B.甲乙两地区这10天检查所得共20个数据的方差是65

C.甲地区环境治理达标

D.乙地区环境治理达标

12.已知直线是曲线上任一点处的切线，直线是曲线上点处的切线，则下列结论中正确的是（）

A.当时，

B.存在，使得

C.若与交于点时，且三角形为等边三角形，则

D.若与曲线相切，切点为，则

三?填空题：共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量满足，且，则向量夹角的余弦值为__________.

14.的展开式中的系数是__________.

15.“南昌之星”摩天轮半径为80米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一.已知摩天轮转一圈的时间为30分钟，甲乙两人相差10分钟坐上摩天轮，那么在摩天轮上，他们离地面高度差的绝对值的取值范围是__________.

16.用平面截圆锥面，可以截出椭圆?双曲线?抛物线，那它们是不是符合圆锥曲线的定义呢？比利时数学家旦德林用一个双球模型给出了证明.如图1，在一个圆锥中放入两个球，使得它们都与圆锥面相切，一个平面过圆锥母线上的点且与两个球都相切，切点分别记为.这个平面截圆锥面得到交线是上任意一点，过点的母线与两个球分别相切于点，因此有，而是图中两个圆锥母线长的差，是一个定值，因此曲线是一个椭圆.如图2，两个对顶圆锥中，各有一个球，这两个球的半径相等且与圆锥面相切，已知这两个圆锥的母线与轴夹角的正切值为，球的半径为4，平面与圆锥的轴平行，且与这两个球相切于两点，记平面与圆锥侧面相交所得曲线为，则曲线的离心率为__________.

四?解答题：共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.

17.已知函数.

（1）求的单调递减区间；

（2）求的最大值.

18.对于各项均不为零的数列，我们定义：数列为数列的“比分数列”.已知数列满足，且的“比分数列”与的“2-比分数列”是同一个数列.

（1）若是公比为2的等比数列，求数列的前项和；

（2）若是公差为2的等差数列，求.

19.如图，两块直角三角形模具，斜边靠在一起，其中公共斜边，，交于点.

（1）求；

（2）求.

20.甲公司现有资金200万元，考虑一项投资计划，假定影响投资收益的唯一因素是投资期间的经济形势，若投资期间经济形势好，投资有的收益率，若投资期间经济形势不好，投资有的损益