第55讲、立体几何中的压轴小题（教师版）.docxVIP

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第55讲立体几何中的压轴小题

必考题型全归纳

题型一：球与截面面积问题

例1．（2024·湖南长沙·高二长郡中学校考开学考试）已知三棱锥的四个顶点在球O的球面上，，是边长为的正三角形，，，，过点E作球O的截面，截面面积最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵，为边长为的等边三角形，∴为正三棱锥，

取的中点，连接，则，，

平面，所以平面，平面，所以，

又，，∴，∴，又，，

平面PAC，∴平面PAC，平面PAC，

∴，∴，

∴为正方体的一部分，

可得外接球的半径为，

取的中点，连接，

可得，，所以，

过点E作球O的截面，设截面与棱的交点分别为，

当OE垂直时截面面积最小，此时即为截面圆的圆心，

截面圆半径为，截面面积为.

故选：A．

例2．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）四面体ABCD的四个顶点都在球的球面上，，，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，现有如下结论：①过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2；②四面体ABCD的体积为；③过作球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4.则上述说法正确的个数是（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】选项①中，如图（1）所示，找的中点，过点E，F，G做四面体ABCD的截面即为面，

则,，所以四边形为平行四边形，

找的中点,连接，因为，所以平面，

所以平面，平面，

所以，所以，

所以四边形为矩形，，，

所以截面的面积，故①正确；

选项②中，中，由勾股定理得：，

同理，过点作,则，所以由勾股定理得：，

所以，

由选项①可得：平面,

所以，，故②错误；

选项③中，可以将四面体放入如图（2）所示的长方体中，由题可求得，，

所以外接球的半径，截面面积的最大值为；平面截得的面积为最小面积，

半径，截面积最小为，所以截面面积的最大值与最小值的比为5：4，故③正确.

图（1）

图（2）

例3．（2024·四川内江·四川省内江市第六中学校考模拟预测）已知球是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点是线段的中点，过点作球的截面，则所得截面面积的最小值是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图，是A在底面的射影，

由正弦定理得，的外接圆半径，

由勾股定理得棱锥的高，

设球O的半径为R，则即，解得，

所以，即点O与重合，

在中，点是线段的中点，，

所以，当截面垂直于OE时，截面面积最小，

此时半径为，截面面积为.

故选：A

变式1．（2024·宁夏银川·校联考二模）2022年第三十二届足球世界杯在卡塔尔举行，第一届世界杯是1930年举办的，而早在战国中期，中国就有过类似的体育运动项目：蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录．已知半径为的某鞠（球）的表面上有四个点，，，，，，，则该鞠（球）被平面所截的截面圆面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为三棱锥的外接球的半径，而，所以为外接球的直径，

如图，将三棱锥放入如图所示的长方体，则，

设长方体的另一棱长为，所以，解得，即，

设外接球的球心为，所以，，

设的外接圆的半径为，则，

则，

所以，则，

所以该鞠（球）被平面所截的截面圆面积．

故选：D

变式2．（2024·全国·高三专题练习）在正方体中，分别为的中点，该正方体的外接球为球，则平面截球得到的截面圆的面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图，连接，由题意易知，

，故四边形为平行四边形.

设，取的中点，连接，

在Rt中，，

故点到的距离为，故点到的距离为，

因此圆心到平面的距离为.由题易知球的半径，

故平面截球得到的截面圆的半径，故截面圆的面积.

故选：D

变式3．（2024·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知球O内切于正方体，P，Q，M，N分别是的中点，则该正方体及其内切球被平面所截得的截面面积之比为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图，易知正方体的内切球的球心O为的中点，

设球O切上下底面中心于点E，F，则球O的半径，

又易知球心O到平面的距离等于E到平面的距离，

设交于点G，则易证平面，

∴球心O到平面的距离，

设正方体的棱长为，

则，，

∴球O被平面所截的小圆半径，

∴球O被平面所截的小圆面积为，

又易知，，

∴该正方体被平面所截得的截面面积为，

∴该正方体及其内切球被平面所截得的截面面积之比为，

故选：A

变式4．（2024·河南洛阳·