第67讲、圆锥曲线离心率题型全归纳（教师版）.docxVIP

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第67讲圆锥曲线离心率题型全归纳

知识梳理

一、建立不等式法：

1、利用曲线的范围建立不等关系．

2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．

3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．

4、利用题目不等关系建立不等关系．

5、利用判别式建立不等关系．

6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．

7、利用基本不等式，建立不等关系．

二、函数法：

1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式；

2、通过确定函数的定义域；

3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．

三、坐标法：

由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．

必考题型全归纳

题型一：建立关于和的一次或二次方程与不等式

例1．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（????）

A． B．2 C． D．

【答案】C

【解析】设双曲线的实半轴长为a，由双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，可得椭圆的长半轴为3a，半焦距为c，设P为椭圆与双曲线在第一象限的交点，设，，则，可得，

由题意P在以为直径的圆上，所以，

所以可得，即离心率，

故选：C

例2．（2024·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，经过的直线交椭圆于两点，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为.

【答案】/

【解析】因为，所以，

即，

所以，所以.

设，则，所以，

由得，

所以，所以，

在中，由，

得，所以.

故答案为:.

例3．（2024·海南海口·高三统考期中）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为，过点A的直线l与圆相切，与C交于另一点B，且，则C的离心率为（????）

A．3 B． C．2 D．

【答案】A

【解析】显然圆的圆心为，半径为，令直线l与圆相切的切点为，连接，

则，有，而，又，因此，解得，

所以双曲线C的离心率为.

故选：A

变式1．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知右焦点为的椭圆：上的三点，，满足直线过坐标原点，若于点，且，则的离心率是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设椭圆左焦点为，连接，，，

设，，结合椭圆对称性得，

由椭圆定义得，，则.

因为，，

则四边形为平行四边形，

则，而，故，

则，即，

整理得，在中，，

即，即，

∴，故.

故选：A

变式2．（2024·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过分别作的两条渐近线的平行线与交于，两点，若，则的离心率为

【答案】/

【解析】如图所示：

设直线方程为与双曲线方程联立，

解得，

因为，

所以，

即，即，

解得，

故答案为：

变式3．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）双曲线的左焦点为F，直线与双曲线C的右支交于点D，A，B为线段的两个三等分点，且（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为.

【答案】

【解析】由题意得，取中点，连接，设双曲线C的右焦点为，连接，

因为，所以，

又A，B为线段的两个三等分点，所以，即为的中点，

又为的中点，所以，故，

设，则，又，

由勾股定理得，则，

由双曲线定义得，即①，

在Rt中，由勾股定理得，

即②，

由①得，两边平方得，

解得或（负值舍去），

将代入②得，故离心率为.

故答案为：

变式4．（2024·河南开封·统考模拟预测）已知是双曲线的右顶点，点在上，为的左焦点，若的面积为，则的离心率为．

【答案】

【解析】由题设知：，则，

所以且，易知：，

又，故，且，

所以，则，

化简得，解得或（舍），

综上，，故，则离心率为.

故答案为：

变式5．（2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为.

??

【答案】

【解析】如图所示：

由题意可得，所以，

又因为，结合可知

，

所以，而，即，

所以，所以离心率.

故答案为：.

变式6．（2024·陕西西安·校考三模）已知双曲线：的左焦点为，过的直线与圆相切于点，与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为.

【答案】

【解析】由题知，记右焦点为，过做如图所示，

与圆相切，

，，

，，

为中点，，

故，且相似比为，

即，，

，

，，

在双曲线中，有，

，

，，

为直角三角形，

，

即，

化简可得，上式两边同时平方