湖南省长沙麓山国际实验学校2025届高三上学期第一次学情检测数学 Word版含解析.docx

2025届麓山国际高三第一次学情检测试卷

数学试卷

总分：150分时量：120分钟

一、单选题（每小题5分，共40分）

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】化简集合，结合交集概念即可得解.

【详解】因为，，

所以.

故选：B.

2.复数，则z的虚部为（）．

A.3 B. C.i D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的除法运算可得答案.

【详解】复数，

所以的虚部为

故选：B.

3.已知向量，则在上的投影向量为（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据投影向量的公式求解.

【详解】根据题意，在上的投影向量为：

.

故选：A

4.已知函数在上单调递减，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据复合函数的单调性法则“同增异减”求解即可.

【详解】解：由于函数在上单调递减，在定义域内是增函数，

所以根据复合函数的单调性法则“同增异减”得：

在上单调递减，且，

所以且，解得：.

故的取值范围是

故选：C.

【点睛】本题考查根据对数型复合函数单调性求参数问题，是中档题.

5.已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】采用参变分离法，将函数存在两个零点转化为函数与函数的图象有两个交点，利用导数探究函数的图象及趋势特征即得参数范围.

【详解】由，，可得：，令，

依题意，函数存在两个零点，等价于函数与函数的图象有两个交点.

又，当时，，单调递增；当时，，单调递减，

故时，取得极大值，且当时，，当时，，

故要使函数与函数的图象有两个交点.，需使，解得.

故选：C.

6.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，

所以2个0不相邻的概率为.

故选：C.

7.如图，在中，C是的中点，P在线段上，且.过点P的直线交线段分别于点N，M，且，其中，则的最小值为（）

A. B. C.1 D.

【答案】C

【解析】

【分析】依题意可得，再根据平面向量共线定理得到，再利用基本不等式计算可得；

【详解】解：，则，，又P，M，N共线，∴.又，

∴，当且仅当时取等号，

故选：C.

8.已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用三角恒等变换然后结合整体法结合三角函数图像性质对进行最值分析，对区间上进行单调分析；

【详解】因为，

当时，因为，则，

因为函数在上存在最值，

则，解得，

当时，，

因为函数在上单调，

则，

所以其中，解得，

所以，解得，

又因为，则．

当时，；

当时，；

当时，．

又因为2，因此的取值范围是．

故选：B．

【点睛】关键点睛：整体法分析是本题的突破点，结合三角函数图像分析是本题的核心；

二、多选题（每小题6分，共18分，每题全对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）

9.下列说法中，正确的命题有（）

A.已知随机变量服从正态分布，则

B.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3

C.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好

D.若样本数据的方差为2，则数据的方差为16

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A，利用正态分布的对称性计算判断；对于B，对给定模型取对数比对即得；对于C，利用残差图的意义即可判断；对于D，利用新数据方差计算公式判断作答.

【详解】对于A，因，且，于是得，故A正确；

对于B，由得，依题意得，即，故B正确；

对于C，在做回归分析时，由残差图表达的意义知，C正确；

对于D，依题意的方差为，故D不正确．

故选：ABC.

10.已知函数，若将的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列结论正确的是（）

A.

B.将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数

C.的图象关于点对称

D.在上单调递增

【答案】BC

【解析】

【分析】利用二倍角公式结合辅助角公式化简，并结合给定条件判断A，利用函数平移的性质结合正弦函数的性质判断B，利用对称中心的求法求解对称中心判断C，举反例判断D即可.

【详解】因为，

所以，

所以，而将的图象平移后能与

函数的图象完全重合，所以，解得，故A错误，

此时，向右平移个单位长度后，

设得到的新函数为，，

由正弦函数