湖南省长沙麓山国际实验学校2025届高三上学期第一次学情检测数学 Word版无答案.docx

2025届麓山国际高三第一次学情检测试卷

数学试卷

总分：150分时量：120分钟

一、单选题（每小题5分，共40分）

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

2.复数，则z的虚部为（）．

A.3 B. C.i D.

3.已知向量，则在上投影向量为（）

A. B. C. D.

4.已知函数在上单调递减，则的取值范围是（）

A B. C. D.

5.已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（）

A B. C. D.

6.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A. B. C. D.

7.如图，在中，C是的中点，P在线段上，且.过点P的直线交线段分别于点N，M，且，其中，则的最小值为（）

A. B. C.1 D.

8.已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

二、多选题（每小题6分，共18分，每题全对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分）

9.下列说法中，正确的命题有（）

A.已知随机变量服从正态分布，则

B.以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和0.3

C.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好

D.若样本数据的方差为2，则数据的方差为16

10.已知函数，若将的图象平移后能与函数的图象完全重合，则下列结论正确的是（）

A.

B.将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象对应的函数为奇函数

C.的图象关于点对称

D.在上单调递增

11.如图，正方体的棱长为1，P是线段上的动点，则下列结论正确的是（）

A.三棱锥的体积为定值

B.平面

C.的最小值为

D.当，C，，P四点共面时，四面体的外接球的体积为

三、填空题（每小题5分，共15分）

12.记为等差数列的前n项和，若，，则________.

13.数列的前项和为，若，则_____________．

14.已知椭圆：的左、右焦点分别为，点是轴正半轴上一点，交椭圆于点A，若，且的内切圆半径为1，则该椭圆的离心率是______．

四、解答题（共77分）

15.在中，内角的对边分别为，为钝角，，．

（1）求；

（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．

条件①：；条件②：；条件③：．

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

16.某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：

喜欢游泳

不喜欢游泳

合计

男生

25

女生

35

合计

已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.

（1）请将上述列联表补充完整；

（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；

（3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为，求随机变量的分布列和期望．

附：.

0.100

0.050

0.010

0001

2.706

3.841

6.635

10.828

17.如图所示，在三棱锥中，与AC不垂直，平面平面，．

（1）证明：；

（2）若，点M满足，求直线与平面所成角的正弦值．

18.已知直线与抛物线交于两点，且．

（1）求；

（2）设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．

19.南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式.如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列an.

（1）求数列an

（2）求最小值；

（3）若数列bn满足，对于，证明：.