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一、解答题
1.如图,在平面直角坐标系中,四边形各顶点的坐标分别为,,,,现将四边形经过平移后得到四边形,点的对应点的坐标为.
(1)请直接写点、、的坐标;
(2)求四边形与四边形重叠部分的面积;
(3)在轴上是否存在一点,连接、,使,若存在这样一点,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
2.如图,,点A、B分别在直线MN、GH上,点O在直线MN、GH之间,若,.
(1)=;
(2)如图2,点C、D是、角平分线上的两点,且,求的度数;
(3)如图3,点F是平面上的一点,连结FA、FB,E是射线FA上的一点,若,,且,求n的值.
3.已知,.点在上,点在上.
(1)如图1中,、、的数量关系为:;(不需要证明);如图2中,、、的数量关系为:;(不需要证明)
(2)如图3中,平分,平分,且,求的度数;
(3)如图4中,,平分,平分,且,则的大小是否发生变化,若变化,请说明理由,若不变化,求出么的度数.
4.点A,C,E在直线l上,点B不在直线l上,把线段AB沿直线l向右平移得到线段CD.
(1)如图1,若点E在线段AC上,求证:B+D=BED;
(2)若点E不在线段AC上,试猜想并证明B,D,BED之间的等量关系;
(3)在(1)的条件下,如图2所示,过点B作PB//ED,在直线BP,ED之间有点M,使得ABE=EBM,CDE=EDM,同时点F使得ABE=nEBF,CDE=nEDF,其中n≥1,设BMD=m,利用(1)中的结论求BFD的度数(用含m,n的代数式表示).
5.已知:直线AB∥CD,M,N分别在直线AB,CD上,H为平面内一点,连HM,HN.
(1)如图1,延长HN至G,∠BMH和∠GND的角平分线相交于点E.求证:2∠MEN﹣∠MHN=180°;
(2)如图2,∠BMH和∠HND的角平分线相交于点E.
①请直接写出∠MEN与∠MHN的数量关系:;
②作MP平分∠AMH,NQ∥MP交ME的延长线于点Q,若∠H=140°,求∠ENQ的度数.(可直接运用①中的结论)
6.如图,直线AB∥直线CD,线段EF∥CD,连接BF、CF.
(1)求证:∠ABF+∠DCF=∠BFC;
(2)连接BE、CE、BC,若BE平分∠ABC,BE⊥CE,求证:CE平分∠BCD;
(3)在(2)的条件下,G为EF上一点,连接BG,若∠BFC=∠BCF,∠FBG=2∠ECF,∠CBG=70°,求∠FBE的度数.
7.定义:如果,那么称b为n的布谷数,记为.
例如:因为,所以,
因为,
所以.
(1)根据布谷数的定义填空:g(2)=________________,g(32)=___________________.
(2)布谷数有如下运算性质:
若m,n为正整数,则,.
根据运算性质解答下列各题:
①已知,求和的值;
②已知.求和的值.
8.下列等式:,,,将以上三个等式两边分别相加得:
.
(1)观察发现:__________.
(2)初步应用:利用(1)的结论,解决以下问题“①把拆成两个分子为1的正的真分数之差,即;②把拆成两个分子为1的正的真分数之和,即;
(3)定义“”是一种新的运算,若,,,求的值.
9.对于实数a,我们规定:用符号表示不大于的最大整数,称为a的根整数,例如:,=3.
(1)仿照以上方法计算:=______;=_____.
(2)若,写出满足题意的x的整数值______.
如果我们对a连续求根整数,直到结果为1为止.例如:对10连续求根整数2次=1,这时候结果为1.
(3)对100连续求根整数,____次之后结果为1.
(4)只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中,最大的是____.
10.阅读材料,解答问题:如果一个四位自然数,十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差,个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和,则我们称这个四位数“依赖数”,例如,自然数2135,其中3=2×2﹣1,5=2×2+1,所以2135是“依赖数”.
(1)请直接写出最小的四位依赖数;
(2)若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3,这样的数叫做“特色数”,求所有特色数.
(3)已知一个大于1的正整数m可以分解成m=pq+n4的形式(p≤q,n≤b,p,q,n均为正整数),在m的所有表示结果中,当nq﹣np取得最小时,称“m=pq+n4”是m的“最小分解”,此时规定:F(m)=,例:20=1×4+24=2×2+24=1×19+14,因为1×19﹣1×1>2×4﹣2×1>2×2﹣2×2,所以F(20)==1,求所有“特色数”的F(m)的最大值.
11.对非负实数
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