第4讲、基本不等式及其应用（教师版）.docxVIP

[在此处键入]

第4讲基本不等式及其应用

知识梳理

1、基本不等式

如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；

基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号．

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．

【解题方法总结】

1、几个重要的不等式

（1）

（2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）．

特例：（同号）．

（3）其他变形：

①（沟通两和与两平方和的不等关系式）

②（沟通两积与两平方和的不等关系式）

③（沟通两积与两和的不等关系式）

④重要不等式串：即

调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．

2、均值定理

已知．

（1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．

（2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．

3、常见求最值模型

模型一：，当且仅当时等号成立；

模型二：，当且仅当时等号成立；

模型三：，当且仅当时等号成立；

模型四：，当且仅当时等号成立．

必考题型全归纳

题型一：基本不等式及其应用

【解题方法总结】

熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．

例1．（2024·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（????）．

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由图知：，

在中，，

所以，即，

故选：C

例2．（2024·全国·高三专题练习）已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】x，y都是正数，

由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；

中当且仅当时取等号，如即可取等号，D中不等式不恒成立．

故选：D．

例3．（2024·江苏·高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（????）

已知，求的最小值；解答过程：；

求函数的最小值；解答过程：可化得；

设，求的最小值；解答过程：，

当且仅当即时等号成立，把代入得最小值为4．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】A

【解析】对：基本不等式适用于两个正数，当，均为负值，

此时，

当且仅当，即时等号成立，故的用法有误，故错误；

对：，

当且仅当，即时取等号，

但，则等号取不到，故的用法有误；

对：，，，

当且仅当，即时取等号，故的用法有误；

故使用正确的个数是0个，

故选：.

题型二：直接法求最值

【解题方法总结】

直接利用基本不等式求解，注意取等条件．

例4．（2024·河北·高三学业考试）若，，且，则的最大值为______．

【答案】

【解析】由题知，，，且

因为，

所以，

所以，即，

当且仅当，即时，取等号，

故答案为：

例5．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）若，，且，则的最小值是____________．

【答案】

【解析】因为（当且仅当时，等号成立），

所以，

所以，所以，所以，

所以的最小值为.

故答案为：

例6．（2024·天津南开·统考一模）已知实数，则的最小值为___________.

【答案】

【解析】∵，，，

∴，当且仅当即时取等号.

故答案为：.

题型三：常规凑配法求最值

【解题方法总结】

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．

2、注意验证取得条件．

例7．（2024·全国·高三专题练习）若，则的最小值为___________.

【答案】0

【解析】由，得，

所以，

当且仅当即时等号成立.

故答案为：0

例8．（2024·全国·高三专题练习）已知，则的最小值为__________.

【答案】3

【解析】，当且仅当，即时，等号成立.

故答案为：3.

例9．（2024·全国·高三专题练习）若，则的最小值为______

【答案】/

【解析】由，则.

因为，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

故的最小值为.

故答案为：.

例10．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）若关于x的不等式的解集为，则的最小值为_________．

【答案】8

【解析】因为不等式的解集为，则，

因为，所以，

∴．

当且仅当，即时，取到等号．

故答案为：8

题型四：消参法求最值

【解题方法总结】