第40讲、数列的基本知识与概念（学生版）.docxVIP

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第40讲数列的基本知识与概念

知识梳理

知识点一、数列的概念

（1）数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．

（2）数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集（或它的有限子集）为定义域的函数当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．

（3）数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．

知识点二、数列的分类

（1）按照项数有限和无限分：

（2）按单调性来分：

知识点三、数列的两种常用的表示方法

（1）通项公式：如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

（2）递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

【解题方法总结】

（1）若数列的前项和为，通项公式为，则

注意：根据求时，不要忽视对的验证．

（2）在数列中，若最大，则若最小，则

必考题型全归纳

题型一：数列的周期性

例1．（2024·全国·高三专题练习）在数列中，已知，，，且，则（????）

A． B． C． D．

例2．（2024·全国·高三专题练习）在数列中，，对所有的正整数都有，则（????）

A．???????????? B．???????????? C．???????????? D．

例3．（2024·江西赣州·高三校联考阶段练习）斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以4的余数依次构成一个新数列，则数列的第100项为（????）

A．0 B．1 C．2 D．3

变式1．（2024·全国·高三对口高考）已知数列中，，则（????）

A． B． C．2 D．1

变式2．（2024·全国·高三对口高考）设函数定义如下，数列满足，且对任意自然数均有，则的值为（????）

x

1

2

3

4

5

4

1

3

5

2

A．1 B．2 C．4 D．5

变式3．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）在数列中，已知，当时，是的个位数，则（????）

A．4 B．3 C．2 D．1

变式4．（2024·北京通州·统考三模）数列中，，则（????）

A． B． C．2 D．4

【解题方法总结】

解决数列周期性问题的方法

先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．

题型二：数列的单调性

例4．（2024·北京密云·统考三模）设数列的前n项和为，则“对任意，”是“数列为递增数列”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不是充分也不是必要条件

例5．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，若存在实数，使单调递增，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

例6．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，若数列为单调递增数列，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

变式5．（2024·天津武清·高三天津市武清区杨村第一中学校考开学考试）数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的通项公式为，则“”是“数列为递增数列”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

变式7．（2024·江苏南通·高三期末）已知数列是递增数列，且，则实数t的取值范围是（????）

A． B． C． D．

变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，若是递增数列，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

变式9．（2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知数列为递减数列，其前n项和，则实数m的取值范围是（????）．

A． B． C． D．

【解题方法总结】

解决数列的单调性问题的3种方法

作差比较法

根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列

作商比较法

根据与1的大小关系进行判断

数形结合法

结合相应函数的图象直观判断

题型三：数列的最大（小）项

例7．（2024·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）数列和数列的公共项从小到大构成一个新数列，数列满足：，则数列的最大项等于______.

例8．（2024·全国·高三专题练习）记为数列的前n项和，若，则的最小值为______．

例9．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，，则的最小值为_________

变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知正项数列满足，