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第39讲复数
知识梳理
知识点一、复数的概念
（1）叫虚数单位，满足，当时，．
（2）形如的数叫复数，记作．
=1\*GB3①复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）．两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数．
=2\*GB3②两个复数相等（两复数对应同一点）
=3\*GB3③复数的模：复数的模，也就是向量的模，即有向线段的长度，其计算公式为，显然，．
知识点二、复数的加、减、乘、除的运算法则
1、复数运算
（1）
（2）
其中，叫z的模；是的共轭复数．
（3）．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
注意：复数加、减法的几何意义
以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是．
2、复数的几何意义
（1）复数对应平面内的点；
（2）复数对应平面向量；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数的模表示复平面内的点到原点的距离．
3、复数的三角形式
（1）复数的三角表示式
一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式．
（2）辐角的主值
任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式．
（3）三角形式下的两个复数相等
两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（4）复数三角形式的乘法运算
①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即
．
②复数乘法运算的三角表示的几何意义
复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积．
（5）复数三角形式的除法运算
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即．
必考题型全归纳
题型一：复数的概念
例1．（2024·河南安阳·统考三模）已知的实部与虚部互为相反数，则实数（????）
A． B． C． D．
例2．（2024·浙江绍兴·统考二模）已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（????）
A． B． C． D．
例3．（2024·海南海口·校联考一模）若复数为纯虚数，则实数的值为（????）
A．2 B．2或 C． D．
例4．（多选题）（2024·河南安阳·安阳一中校考模拟预测）若复数，则（????）
A． B．z的实部与虚部之差为3
C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限
例5．（2024·辽宁·校联考一模）若是纯虚数，，则的实部为______.
【解题方法总结】
无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分，所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚．
题型二：复数的运算
例6．（2024·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知复数，则（????）
A． B．1 C． D．
例7．（2024·河北衡水·模拟预测）若，则（????）
A． B．
C． D．
例8．（2024·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）已知复数z满足，则（????）
A． B． C． D．
例9．（2024·全国·模拟预测）已知复数满足，则（????）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
设，则
（1）
（2）
（3）
题型三：复数的几何意义
例10．（2024·河南郑州·三模）复平面内，复数对应的点位于（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例11．（2024·全国·高三专题练习）已知复数与在复平面内对应的点关于实轴对称，则（????）
A． B． C． D．
例12．（2024·湖北·校联考三模）如图，正方形OABC中，点A对应的复数是，则顶点B对应的复数是（????）
A． B． C． D．
例13．（2024·全国·校联考模拟预测）在复平面内，设复数，对应的点分别为，，则（????）
A．2 B． C． D．1
【解题方法总结】
复数的几何意义在于复数的实质是复平面上的点，其实部、虚部分别是该点的横坐标、纵坐标，这是研究复数几何意义的最重要的出发点．
题型四：复数的相等与共轭复数
例14．（2024·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（????）
A
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