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第47讲空间点、直线、平面之间的位置关系
知识梳理
知识点一．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据
推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；
注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据
（2）此推论是判定若干平面重合的依据
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据
（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）
（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
知识点二．直线与直线的位置关系
位置关系
相交（共面）
平行（共面）
异面
图形
符号
a∥b
公共点个数
1
0
0
特征
两条相交直线确定一个平面
两条平行直线确定一个平面
两条异面直线不同在如何一个平面内
知识点三．直线与平面的位置关系：有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
位置关系
包含（面内线）
相交（面外线）
平行（面外线）
图形
符号
∥
公共点个数
无数个
1
0
知识点四．平面与平面的位置关系：有平行、相交两种情况．
位置关系
平行
相交（但不垂直）
垂直
图形
符号
∥
，
公共点个数
0
无数个公共点且都在唯一的一条直线上
无数个公共点且都在唯一的一条直线上
知识点五．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
必考题型全归纳
题型一：证明“点共面”、“线共面”或“点共线”及“线共点”
例1．（2024·山西大同·高一校考期中）如图所示，在空间四边形中，，分别为，的中点，，分别在，上，且，求证：
??
(1)，，，四点共面；
(2)与的交点在直线上．
例2．（2024·陕西西安·高一校考期中）（1）已知直线，直线与，都相交，求证：过，，有且只有一个平面；
（2）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且.求证：直线，，相交于一点.
??
例3．（2024·河南信阳·高一校联考期中）如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且.
??
(1)证明：四点共面；
(2)设，证明：A，O，D三点共线.
变式1．（2024·全国·高一专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.求证：
(1)E?F?G?H四点共面；
(2)EG与HF的交点在直线AC上.
变式2．（2024·云南楚雄·高一统考期中）如图，在正四棱台中，E，F，G，H分别为棱，，AB，BC的中点．
????
(1)证明E，F，G，H四点共面；
(2)证明GE，FH，相交于一点．
变式3．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点．
(1)求证：三线交于点P；
(2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．
【解题方法总结】
共面、共线、共点问题的证明
（1）证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内．
（2）证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
（3）证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
题型二：截面问题
例4．（2024·全国·高三对口高考）如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y，设，则当时，函数的值域为（????）
??
A． B． C． D．
例5．（2024·北京东城·高三北京市第十一中学校考阶段练习）如图，正方体的棱长为1，E，F，G分别为线段上的动点（不含端点），
??
①异面直线与AF所成角可以为
②当G为中点时，存在点E，F使直线与平面AEF平行
③当E，F为中点时，平面AEF截正方体所得的截面面积为
④存在点G，使点C与点G到平面AEF的距离相等
则上述结论正确的是（????）
A．①③ B．②④ C．②③ D．①④
例6．（2024·河南·模拟预测）在正方体中，M，N分别为AD，的中点，过M，N，三点的平面截正方体所得的截面形状为（????）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
变式4．（2024·河南·模拟预测）在正方体中，分别为，的中点，
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