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第49讲直线、平面垂直的判定与性质
知识梳理
知识点1：直线与平面垂直的定义
如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直．
知识点2：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
判断定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
面⊥面?线⊥面
两个平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
_
a
平行与垂直的关系
一条直线与两平行平面中的一个平面垂直，则该直线与另一个平面也垂直
_
_
平行与垂直的关系
两平行直线中有一条与平面垂直，则另一条直线与该平面也垂直
?
?
_
b
_
a
知识点3：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
垂直于同一平面的两条直线平行
?
?
_
b
_
a
文字语言
图形语言
符号语言
垂直与平行的关系
垂直于同一直线的两个平面平行
_
_
线垂直于面的性质
如果一条直线垂直于一个平面，则该直线与平面内所有直线都垂直
知识点4：平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直．（如图所示，若，且，则）
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
知识点5：判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
_
_
知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）
文字语言
图形语言
符号语言
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
_
_
_
a
【解题方法总结】
线线线面面面
（1）证明线线垂直的方法
①等腰三角形底边上的中线是高；
②勾股定理逆定理；
③菱形对角线互相垂直；
④直径所对的圆周角是直角；
⑤向量的数量积为零；
⑥线面垂直的性质；
⑦平行线垂直直线的传递性（）．
（2）证明线面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②线面垂直的判定（）；
③面面垂直的性质（）；
平行线垂直平面的传递性（）；
⑤面面垂直的性质（）．
（3）证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理（）．
空间中的线面平行、垂直的位置关系结构图如图所示，由图可知，线面垂直在所有关系中处于核心位置．
性质
性质
性质
性质
性质
性质
判定
判定
判定
判定
判定
线∥面
线∥线
面∥面
线⊥面
线⊥线
面⊥面
必考题型全归纳
题型一：垂直性质的简单判定
例1．（2024·甘肃兰州·校考模拟预测）设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【解析】当，时，可能有，但也有可能或，故A选项错误；
当，时，可能有，但也有可能或，故选项B错误；
在如图所示的正方体中，
取为，为，为平面，为平面，这时满足，，，但不成立，故选项C错误；
当，，时，必有，从而，故选项D正确；
故选：D.
例2．（2024·重庆·统考模拟预测）已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（）
A．若，且，则 B．若，，，则
C．若，且，则 D．若，，，则
【答案】C
【解析】对于选项A：若，且，则l，m可能平行、相交或异面，并不一定垂直，故A错误；
对于选项B：若，，，则m，n可能平行、相交或异面，并不一定平行，故B错误；
对于选项C：若，且，根据线面垂直可得：，故C正确；
对于选项D：若，，但不能得到，
所以虽然，不能得到，故D错误；
故选：C.
例3．（2024·陕西咸阳·统考二模）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下四个命题：
①若∥，，则∥，②若，，则，
③若，，则∥，④若，，，则
其中正确的命题是（）
A．②③ B．②④ C．①③ D．①②
【答案】A
【解析】对于①，当∥，时，∥或，所以①错误，
对于②，当，时，由面面垂直的判定定理可得，所以②正确，
对于③，当，时，有∥，所以③正确，
对于④，当，，时，如图所示，∥，所以④错误，
故选：A
变式1．（2024·河南·校联考模拟预测）已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】对于A，可能会出现，或与相交但不垂直的情况，所以A不正确；
对于B，可能平行、可能异面，所以B不正确；
对于C，若，仍然满足且，所以C不正确；
对于D，，则，再由，可得,可知D正确.
故选：D.
变式2．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）如图所示的菱形中，对角线交于点，将沿折到位置，使平面平面.以下命题:
①；
②平面
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