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第62讲隐圆问题

必考题型全归纳

题型一：隐圆的第一定义：到定点的距离等于定长

例1．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）平面内，定点，，，满足，且，动点，满足，，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题，则到，，三点的距离相等，所以是的外心.

又，

变形可得，

所以，同理可得，，

所以是的垂心，

所以的外心与垂心重合，

所以是正三角形，且是的中心；

由，解得，

所以的边长为；

如图所示，以为坐标原点建立直角坐标系，

则，，，，

可设，其中，，而，

即是的中点，则，

，

当时，取得最大值为．

故选：D．

例2．（2024·全国·高一阶段练习）已知是单位向量，，若向量满足，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】单位向量满足，即，作，以射线OA，OB分别作为x、y轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，

，设，则，由得：，

令，即，

，其中锐角满足，

因此，当时，，当时，，

所以的取值范围是.

故选：D

例3．（2024·全国·高三专题练习）已知单位向量与向量垂直，若向量满足，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意不妨设，设，则．

∵，∴，即表示圆心为，半径为1的圆，设圆心为P，∴．

∵表示圆P上的点到坐标原点的距离，，∴的取值范围为，

故选：C．

变式1．（2024·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校考阶段练习）如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】问题可转化为圆和圆相交，

两圆圆心距，

由得，

解得，即.

故选：D

变式2．（2024·新疆和田·高二期中）如果圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是（）

A． B．

C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，1）

【答案】A

【解析】∵圆（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，

∴圆O：x2+y2＝4与圆C：（x﹣a）2+（y﹣1）2＝1相交，

∵|OC|，

由R﹣r＜|OC|＜R+r得：13，

∴，

∴﹣2a＜0或0＜a＜2．

故选A．

变式3．（2024·新疆·高三兵团第三师第一中学校考阶段练习）在平面内，定点，，，满足，，动点，满足，，则的最大值为．

【答案】

【解析】平面内，，，

，，，

可设，，，，

动点，满足，，

可设，，，

，，

，

当且仅当时取等号，

的最大值为．

故答案为：．

变式4．（2024·安徽池州·高一池州市第一中学校考阶段练习）在平面内，定点与、、满足，，动点、满足，，则的最大值为．

【答案】49

【解析】由，可得为的外心，

又，

可得，，即，

即有，，可得为的垂心，

则为的中心，即为正三角形，

由,即有,

解得，的边长为，

由，可得为中点，

，

设，则，,

,

当时，最大值为49,

故答案为：49

题型二：隐圆的第二定义：到两定点距离的平方和为定值

例4．（2024·四川广元·高二四川省剑阁中学校校考阶段练习）在平面直角坐标系中，为两个定点，动点在直线上，动点满足，则的最小值为．

【答案】5

【解析】设点，由得：，

即，即，

在以为直径的圆上，不妨设，，

则，，

，

，其中为辅助角，

令，，则，．

，

令，，，

在，上单调递增，

故当时，取得最小值，

再令，，

显然在，上单调递增，

故时，取得最小值，

综上，当，时，取得最小值25．

故的最小值为5,

故答案为：5．

例5．（2024·全国·高三专题练习）已知四点共面，，，，则的最大值为．

【答案】10

【解析】设，由题意可得：，

则：，

ABC构成三角形，则：，解得：，

由余弦定理：

，

当时，取得最大值为10.

例6．（2024·浙江金华·高二校联考期末）已知圆，点，设是圆上的动点，令，则的最小值为．

【答案】

【解析】设，，，

，

当取得最小值时，取得最小值，

由圆，则圆心，半径，

易知，则.

故答案为：.

变式5．（2024·高二课时练习）正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的取值范围为.

【答案】

【解析】如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，

则，

设点，则由，

得，

整理得，

即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，

圆心M到点D的距离为，所以，

所以的取值范围是.

故答案为：.

变式6．（2024·上海闵行·高二校考期末）如图，△是边长为1的正三角形，点在△所在的平面内，且（为常数），满足条件的点有无数个，则实数的取值范围是．

【答案】

【解析】以所在的直线为轴，中点为原点