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第08讲函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性(精讲)
题型目录一览
①函数的奇偶性
②函数奇偶性的应用
③函数的周期性
④函数的对称性
⑤函数性质的综合应用
一、知识点梳理
一、知识点梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做奇函数
关于原点对称
注意:由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个前提条件是:对于定义域内的任意一个,也在定义域内(即定义域关于原点对称).
2.函数的对称性
(1)若函数为偶函数,则函数关于对称.
(2)若函数为奇函数,则函数关于点对称.
(3)若,则函数关于对称.
(4)若,则函数关于点对称.
3.函数的周期性
(1)周期函数:对于函数,如果存在一个非零常数,使得当取定义域内的任何值时,都有,那么就称函数为周期函数,称为这个函数的周期.
(2)最小正周期:如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数,那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
【常用结论】
1.奇偶性技巧
(1)若奇函数在处有意义,则有;
(2)对于运算函数有如下结论:奇奇=奇;偶偶=偶;奇偶=非奇非偶;
奇奇=偶;奇偶=奇;偶偶=偶.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数:=1\*GB3①函数或函数.=2\*GB3②函数.
=3\*GB3③函数或函数
=4\*GB3④函数或函数.
注意:关于=1\*GB3①式,可以写成函数或函数.
偶函数:=1\*GB3①函数.=2\*GB3②函数.=3\*GB3③函数类型的一切函数.
2.周期性技巧
3.函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数有两条对称轴,,则函数是周期函数,且;
(2)若函数的图象有两个对称中心,则函数是周期函数,且;
(3)若函数有一条对称轴和一个对称中心,则函数是周期函数,且.
4.对称性技巧
(1)若函数关于直线对称,则.
(2)若函数关于点对称,则.
(3)函数与关于轴对称,函数与关于原点对称.
二、题型分类精讲
二、题型分类精讲
真题刷刷刷
真题刷刷刷
一、单选题
1.(2021·全国·高考真题)下列函数中是增函数的为(????)
A. B. C. D.
2.(2021·全国·统考高考真题)设函数,则下列函数中为奇函数的是(????)
A. B. C. D.
3.(2021·全国·高考真题)设是定义域为R的奇函数,且.若,则(????)
A. B. C. D.
4.(2021·浙江·统考高考真题)已知函数,则图象为如图的函数可能是(????)
A. B.
C. D.
5.(2022·全国·统考高考真题)如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像,则该函数是(????)
A. B. C. D.
6.(2021·全国·统考高考真题)已知函数的定义域为,为偶函数,为奇函数,则(????)
A. B. C. D.
7.(2022·全国·统考高考真题)已知函数的定义域为R,且,则(????)
A. B. C.0 D.1
8.(2022·全国·统考高考真题)已知函数的定义域均为R,且.若的图像关于直线对称,,则(????)
A. B. C. D.
9.(2021·全国·统考高考真题)设函数的定义域为R,为奇函数,为偶函数,当时,.若,则(????)
A. B. C. D.
二、多选题
10.(2022·全国·统考高考真题)已知函数及其导函数的定义域均为,记,若,均为偶函数,则(????)
A. B. C. D.
三、填空题
11.(2021·全国·统考高考真题)写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______.
①;②当时,;③是奇函数.
四、双空题
12.(2022·全国·统考高考真题)若是奇函数,则_____,______.
题型一函数的奇偶性
策略方法判断函数奇偶性的方法
(1)定义法:
(2)图象法:
(3)性质法:
在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.
【典例1】判断下列函数的奇偶性:
(1);
(2);
(3);
(4).
【题型训练】
一、单选题
1.函数的奇偶性是()
A.是奇函数,不是偶函数
B.是偶函数,不是奇函数
C.既是奇函数,也是偶函数
D.非奇非偶函数
2.已知奇函数,当时,,则当时,(????)
A. B.
C. D.
3.若函数为奇函数,则(????)
A.2 B.1 C.0 D.
4.函数的部分图象大致为(????)
A. B.
C. D.
二、填空题
5.函数为偶函数,当时,,则时,___________.
6.,若,则__________.
7
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