高考数学高频考点题型归纳与方法(新高考通用)第08讲函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性(精讲)(原卷版+解析).docxVIP

第08讲函数的基本性质Ⅱ-奇偶性、周期性和对称性（精讲）

题型目录一览

①函数的奇偶性

②函数奇偶性的应用

③函数的周期性

④函数的对称性

⑤函数性质的综合应用

一、知识点梳理

一、知识点梳理

1.函数的奇偶性

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数

关于轴对称

奇函数

如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数

关于原点对称

注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．

2.函数的对称性

(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．

(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．

(3)若，则函数关于对称．

(4)若，则函数关于点对称．

3.函数的周期性

（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.

（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.

【常用结论】

1.奇偶性技巧

（1）若奇函数在处有意义，则有；

（2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；

奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.

(3)常见奇偶性函数模型

奇函数：=1\*GB3①函数或函数．=2\*GB3②函数．

=3\*GB3③函数或函数

=4\*GB3④函数或函数．

注意：关于=1\*GB3①式，可以写成函数或函数．

偶函数：=1\*GB3①函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数类型的一切函数．

2.周期性技巧

3.函数的的对称性与周期性的关系

（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；

（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；

（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.

4.对称性技巧

（1）若函数关于直线对称，则．

（2）若函数关于点对称，则．

（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．

二、题型分类精讲

二、题型分类精讲

真题刷刷刷

真题刷刷刷

一、单选题

1．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（????）

A． B． C． D．

2．（2021·全国·统考高考真题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（????）

A． B． C． D．

3．（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（????）

A． B． C． D．

4．（2021·浙江·统考高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（????）

A． B．

C． D．

5．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（????）

A． B． C． D．

6．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（????）

A． B． C． D．

7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（????）

A． B． C．0 D．1

8．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（????）

A． B． C． D．

9．（2021·全国·统考高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（????）

A． B． C． D．

二、多选题

10．（2022·全国·统考高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（????）

A． B． C． D．

三、填空题

11．（2021·全国·统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数_______．

①；②当时，；③是奇函数．

四、双空题

12．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．

题型一函数的奇偶性

策略方法判断函数奇偶性的方法

(1)定义法：

(2)图象法：

(3)性质法：

在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

【典例1】判断下列函数的奇偶性：

(1)；

(2)；

(3)；

(4)．

【题型训练】

一、单选题

1．函数的奇偶性是（）

A．是奇函数，不是偶函数

B．是偶函数，不是奇函数

C．既是奇函数，也是偶函数

D．非奇非偶函数

2．已知奇函数，当时，，则当时，（????）

A． B．

C． D．

3．若函数为奇函数，则（????）

A．2 B．1 C．0 D．

4．函数的部分图象大致为（????）

A． B．

C． D．

二、填空题

5．函数为偶函数，当时，，则时，___________．

6．，若，则__________.

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