2024年天津市高考数学试卷[含答案].doc

2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页．

答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷（选择题）

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

2．本卷共9小题，每小题5分，共45分．

参考公式：

·如果事件互斥，那么．

·如果事件相互独立，那么．

球的体积公式，其中表示球的半径．

·圆锥的体积公式，其中表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高．

一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合，2，3，，，3，4，，则

A．，2，3， B．，3， C．， D．

2．设，，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．下列图中，相关性系数最大的是

A． B．

C． D．

4．下列函数是偶函数的是

A． B．

C． D．

5．若，，，则，，的大小关系为

A． B． C． D．

6．若，为两条直线，为一个平面，则下列结论中正确的是

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则与相交

7．已知函数的最小正周期为．则函数在的最小值是

A． B． C．0 D．

8．双曲线的左、右焦点分别为、．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，△是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为

A． B． C． D．

9．一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知，，．则该五面体的体积为

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。

10．已知是虚数单位，复数．

11．在的展开式中，常数项为．

12．的圆心与抛物线的焦点重合，两曲线与第一象限交于点，则原点到直线的距离为．

13．，，，，五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加，甲选到的概率为；已知乙选了活动，他再选择活动的概率为．

14．在正方形中，边长为1．为线段的三等分点，，，则；若为线段上的动点，为中点，则的最小值为．

15．若函数有唯一零点，则的取值范围为．

三、解答题：本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．（14分）在中，，．

（1）求；

（2）求；

（3）求．

17．（15分）已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中，．是的中点，是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面的夹角余弦值；

（3）求点到平面的距离．

18．（15分）已知椭圆的离心率，左顶点为，下顶点为，是线段的中点，其中．

（1）求椭圆方程．

（2）过点的动直线与椭圆有两个交点，，在轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出这个点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．

19．（15分）已知数列是公比大于0的等比数列，其前项和为，若，．

（1）求数列前项和；

（2）设，，其中是大于1的正整数．

当时，求证：；

求．

20．（16分）设函数．

（1）求图像上点，（1）处的切线方程；

（2）若在时恒成立，求的值；

（3）若，，证明．

2024年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学

参考答案与试题解析

一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合，2，3，，，3，4，，则

A．，2，3， B．，3， C．， D．

【分析】：根据集合交集的概念直接求解即可．

【解析】：集合，2，3，，，3，4，，则，3，．故选：．

2．设，，则“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】：说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.

【解析】：，，根据在R上单调递增，则“”可得；

根据在R上单调递增，则“”可得；所以，，则“”是“”的充要条件．

故选：．

3．下列图中，相关性系数最大的是

A． B．

C． D．

【分析】：由点的分布特征可直接判断．

【解析】：观察4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体接近某一条直线，线性回归模型拟合效果比较好，相关关系强，呈现明显的正相关，值相比于其他3图更接近1，相关程度也就越大．故选：．

4．下列函数是偶函数的是

A． B．

C． D．

【解析一】：，，定义域为，

（1），，则（1），不符合题意