山东省泰安第二中学2024-2025学年高二上学期开学考试 数学试题[含答案].docx

数学开学检测限时训练

一、单选题（每题5分，共40分）

1．空间任意四个点A，B，C，D，则等于（????）

A． B． C． D．

2．已知，是空间两个不共线的向量，，那么必有（????）

A．，共线 B．，共线

C．，，共面 D．，，不共面

3．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（）

A． B．

C． D．

4．已知是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是（????）

A． B． C． D．

5．已知，向量在向量上的投影向量为，则（????）

A．3 B． C． D．

6．空间四边形中，，，则的值是（????）

A． B． C． D．

7．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任意一点，垂足为E，点F是PB上一点，则下列判断中不正确的是（????）﹒

A．平面PAC B． C． D．平面平面PBC

8．如图，在四棱锥中，平面，四边形为正方形，为的中点，则异面直线与所成的角的正弦值为（????）

??

A． B． C． D．

二、多项选择题（每题6分，共18分）

9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（????）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

10．设是任意三个非零向量且互不共线，下列各式不正确的是（????）

A． B．

C． D．

11．如图，在平行六面体中，，，．若，，则（????）

A． B．

C．A，P，三点共线 D．A，P，M，D四点共面

三、填空题（每题5分，共15分）

12．若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则．

13．已知三点不共线，为平面外一点，若由向量确定的点与共面，那么

14．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的．(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”)

四、解答题（共5题；共77分）

15．如图，在四面体OABC中，设，，，G为的重心，以为空间基底表示向量，．

??

16．如图，四棱锥中，平面分别为线段的中点.

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面

17．如图，在长方体中，，，E，F分别为，的中点.计算：

(1)；

(2)；

(3).

18．如图，在直四棱柱中，，，，E，F，G分别为棱，，的中点．

??

(1)求的值；

(2)证明：C，E，F，G四点共面．

19．如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且．

??

(1)求证：；

(2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明．

1．D

【分析】利用空间向量加法的三角形法则和向量减法的定义即可求出答案.

【详解】易知，.

故选：D.

2．C

【分析】根据共面向量定理可作出判断

【详解】由题知，，是空间两个不共线的向量，，

由共线向量定理知，A，B，C三点共线，

由共面向量定理知，，，共面.

故选：C

3．B

【分析】直接根据图形的性质分解向量即可.

【详解】由题意.

故选：B.

4．B

【分析】借助向量模长与数量积的关系及夹角公式计算即可得.

【详解】，

，

则，

因为，所以，

即与的夹角是.

故选：B.

5．D

【分析】利用投影向量的公式列出方程，求出.

【详解】由题意得，故，所以.

故选：D

6．D

【分析】利用，以及的数量积的定义化简的值，

【详解】解：，

所以

所以，

故选：D．

7．C

【分析】结合空间中点、线、面的位置关系，对选项逐个分析判断即可.

【详解】对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，而底面圆面，则，

又由圆的性质可知，且，平面，

则平面，所以A正确；

对于B，由A可知平面，又平面，所以，又，且，平面，所以平面，而平面，所以，所以B正确；

对于C，假设成立，由平面，且平面，所以，而，且平面，所以平面，由A可知平面，所以，显然不成立，故假设错误，即C不正确；

对于D，由B可知，平面，因为平面，所以平面平面，所以D正确.

故选：C.

【点睛】本题考查线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生的推理能力与空间想象能力，属于中档题.

8．C

【分析】先取正方形的中心，连接，由知为异面直线与所成的角，再在中求的正弦即可.

【详解】连，相交于点，连、，

??

因为为的中点，为的中点，有，可得或其补角为异面直线与所成的角，

不妨设正方形中，，则，由平面，可得，

则，，

因为，为的中点，所以，．

故选：C.

【点睛】方法点睛：

求空间角的常用方法：

（1）定义法，由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应三角形，即可求出结果；

（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量夹角（直线方向向量与直线方向向量、直线方向向量与平面法向量，平面法向量与平面法向量）余弦值，即可求出结果.

9．ABD

【分析】根据空间向量基底的