上海市松江二中2025届高三上学期开学考试 数学试卷[含答案].docx

松江二中2025届高三数学第一学期开学考数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）

1．已知集合，，则

2．在复平面内，复数对应的点的坐标是，则.

3．在的展开式中，的系数为.

4．双曲线的两条渐近线的夹角为.

5．已知向量，且，则．

6．数在上可导，若，则.

7．已知随机变量的分布为，且，若，则实数．

8．正方体的棱长为2，为棱的中点，以为轴旋转一周，则得到的旋转体的表面积是．

9．已知集合.设函数的值域为，若，则实数的取值范围为

10．已知件次品和件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为（用数字作答）．

11．如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率为．

12．已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

13．“”是“直线与垂直”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

14．已知，是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是（????）．

A．若，不平行，则在内不存在与平行的直线

B．若，平行于同一平面，则与可能异面

C．若，不平行，则与不可能垂直于同一平面

D．若，垂直于同一平面，则与可能相交

15．在中，是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有，则为（????）

A．等腰三角形 B．钝角三角形

C．直角三角形 D．锐角三角形

16．已知函数，若函数恰有5个不同的零点，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤.

17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，以的中点为球心、为直径的球面交于点．

(1)求证平面；

(2)求二面角的大小．

18．黄山原名“黟山”，因峰岩青黑，遥望苍黛而名，后因传说轩辕黄帝曾在此炼丹，故改名为“黄山”.黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一.为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图.

??

(1)根据频率分布直方图，求x的值；

(2)估计这100名游客对景区满意度评分的40%分位数（得数保留两位小数）；

(3)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在50,60和60,70内各1人的概率.

19．已知函数的表达式（为实数）．

(1)函数在区间上是严格增函数，试用函数单调性的定义求实数的取值范围；

(2)设，若不等式在上有解，求的取值范围．

20．如图，已知?是椭圆的左?右焦点，?是其顶点，直线与相交于，两点.

(1)求△的面积；

(2)若，点，重合，求点的坐标；

(3)设直线，的斜率分别为?，记以，为直径的圆的面积分别为?，的面积为，若??恰好构成等比数列，求的最大值.

21．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)若的极大值为，求的值；

(3)当时，若，使得，求的取值范围．

1．

【分析】利用交集的定义进行求解.

【详解】因为，，

所以.

故答案为：.

2．##i-2

【分析】根据复数的乘法运算求解即可.

【详解】由题意知，，

则，

故答案为：

3．

【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.

【详解】展开式的通项公式为：，

令可得：，则的系数为：.

故答案为：

4．

【分析】根据双曲线的方程，求得其渐近线的方程，利用斜率与倾斜角的关系，以及双曲线的对称性，即可求解.

【详解】由题意，双曲线，可得两条渐近线方程为，

设直线的倾斜角为，则，解得，

根据双曲线的对称性，可得两见解析的夹角为.

故答案为.

【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，同时考查了直线的斜率与倾斜角的关系的应用，属于基础题.

5．

【分析】利用向量数量积定义求解.

【详解】解得

故答案为：.

6．12

【分析】利用导数的定义计算代入可得结果.

【详解】根据导数定义可

.

故答案为：12

7．

【分析】由期望性质可得答案.

【详解】因，则.

又，则.

故选：.

8．

【分析】先确定旋转体是母线且同底的两个圆锥构成的几何体，进而可得.

【详解】由题意知，