云南省昆明市第八中学特色级部2024-2025学年高二上学期开学考 数学试卷[含答案].docx

昆八中特色级部2026届开学考数学

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设向量，则下列结论中正确的是（???）

A． B．

C． D．与垂直

2．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（????）

A．若，则

B．若，且，则

C．若，，则

D．若，则

3．若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（????）

A．数据的平均数为13

B．数据的方差为12

C．

D．

4．已知，则（????）

A． B． C． D．

5．ΔABC的内角的对边分别为，若，且，则ΔABC的面积的最大值是

A． B． C． D．4

6．在正方体中，三棱锥内切球的体积为，则正方体外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

7．已知，则的最小值为（????）

A． B．4 C． D．

8．设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（????）

A． B． C． D．

二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．

9．下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（）

A．的虚部为

B．在复平面内对应的点在第二象限

C．的共轭复数为

D．若，则的最大值是

10．下列命题正确的是（????）

A．对于事件，，若，则

B．若三个事件，，两两互斥，则

C．若，，则事件，相互独立与互斥不会同时发生

D．若事件，满足，，，则

11．已知函数，则下列说法正确的是（????）

A．若的最小正周期是，则

B．当时，的对称中心的坐标为

C．当时，

D．若在区间上单调递增，则

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．若向量满足，，则向量的夹角为.

13．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.双曲余弦函数，就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数m满足不等式，则m的取值范围为.

14．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，平面平面分别为棱的中点，为及其内部的动点，满足平面，给出下列四个结论：

①直线与平面所成角为45°；

②二面角的余弦值为；

③点到平面的距离为定值；

④线段长度的取值范围是

其中所有正确结论的序号是

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．ΔABC的内角的对边分别为，已知．

（1）求角；

（2）若，ΔABC的周长为，求ΔABC的面积．

16．2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．

(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；

(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．

17．如图，四棱锥中，底面为菱形，且，侧棱底面，，为侧棱上一点．

(1)当为中点时，求的面积；

(2)试确定点的位置，使平面与平面夹角的余弦值为．

18．已知.

(1)求的单调递增区间；

(2)若，，求满足不等式的x的取值范围.

19．已知数据，，…，的平均数为，方差为，数据，，…，的平均数为，方差为．类似平面向量，定义n维向量，的模，，数量积．若向量与所成角为，有恒等式，其中，．

(1)当时，若向量，，求与所成角的余弦值；

(2)当时，证明：①；②；

(3)当，时，探究与的大小关系，并证明．

1．D

【分析】根据，逐项判断.

【详解】因为，

所以，，

，

显然不平行，

故选：D.

2．C

【分析】根据线线、线面和面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可.

【详解】对于A：若，则与可能平行或异面，故A错误；

对于B：若，且时，平面与可能平行，也可能相交，故B错误；

对于C：若，，则，所以，故C正确；

对于D：若，设，而可能平行，也可能相交，则可能平行，也可能和相交，故D错误．

故选：C．

3．B

【分析】利用平均数、方差的定义，逐项计算判断作答.

【详解】依题意，，，

对于A，，A正确；

对于B，依题意，，所以数据的方差为：

，B错误；

对于