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第12讲函数与方程

知识梳理

一、函数的零点

对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.

二、方程的根与函数零点的关系

方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.

三、零点存在性定理

如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.

四、二分法

对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.

五、用二分法求函数零点近似值的步骤

（1）确定区间，验证，给定精度.

（2）求区间的中点.

（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）

（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【解题方法总结】

函数的零点相关技巧:

①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.

②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.

④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.

必考题型全归纳

题型一：求函数的零点或零点所在区间

【例1】（2024·广西玉林·博白县中学校考模拟预测）已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（????）

A． B．0 C．2 D．4

【答案】D

【解析】因为是函数的一个零点，则，于是，即，

而函数是奇函数，则有，

所以.

故选：D

【对点训练1】（2024·吉林·通化市第一中学校校联考模拟预测）已知是函数的一个零点，则的值为（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为是函数的一个零点，

所以，即，故，

则．

故选：D．

【对点训练2】（2024·全国·高三专题练习）已知函数的零点依次为，则（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】对于，显然是增函数，，所以的唯一零点；

对于，显然也是增函数，，所以的唯一零点；

对于，显然也是增函数，，所以的唯一零点；

；

故选：A.

【对点训练3】（2024·全国·高三专题练习）已知，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】，所以，

因为是方程的一个解，

所以是方程的解，令，

则，当时，恒成立，

所以单调递增，

又，

所以.

故选：C.

【解题总结】

求函数零点的方法：

（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围

【例2】（2024·山西阳泉·统考三模）函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，

因为函数在区间存在零点，

所以，即，解得，

所以实数m的取值范围是.

故选：B.

【对点训练4】（2024·全国·高三专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】∵和在上是增函数，

∴在上是增函数，

∴只需即可，即，解得.

故选：D.

【对点训练5】（2024·河北·高三学业考试）已知函数是R上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】∵是奇函数，∴，，，易知在上是增函数，

∴有唯一零点0，

函数的零点在区间内，∴在上有解，，∴．

故选：A．

【对点训练6】（2024·浙江绍兴·统考二模）已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为__________.

【答案】

【解析】设，则，

此时，则，

令，

当时，，

记，则，

所以在上递增，在上递减，

故,所以，

所以的最大值为.

故答案为：.

【对点训练7】（2024·上海浦东新·高三上海市进才中学校考阶段练习）已知函数在上有零点，则实数的取值范围___________.

【答案】

【解析】当时，，，，

故，由零点存在性定理知：在区间上至少有1个零点；

当时，，符合题意；

当时，，

，

由零点存在性定理知，在区间至少有1个零点；

当时，

，

因为，，所以，，

当时，，，递增，

当时，，，递减，

故在上递增，在上递减，

又，即在上，，

故在区间上没有零点．

所以，当时，函数在上有零点.

令，，

可知为奇函数，图象关于原点对称，

从而，当时，函数在上有零点.

又当时，，符合题意，

综上，实数的取值范围．

故答案为：．

【解题总结】

本类问题应细致观察、分析图像，利用