2024高考数学专题一：函数的性质专题【教师原创】.doc

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2024高考数学专题一：函数的根本性质

一、函数的单调性

函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比拟大小，解不等式，求最值。

定义：〔略〕

定理1：那么

上是增函数；

上是减函数.

定理2：〔导数法确定单调区间〕假设，那么

上是增函数；上是减函数.

1.函数单调性的判断(证明)

(1)作差法(定义法)(2)作商法(3)导数法

2.复合函数的单调性的判定

对于函数和，如果函数在区间上具有单调性，当时，且函数在区间上也具有单调性，那么复合函数在区间具有单调性。

3.由单调函数的四那么运算所得到的函数的单调性的判断

对于两个单调函数和，假设它们的定义域分别为和，且：

(1)当和具有相同的增减性时，

①的增减性与相同，

②、、的增减性不能确定；

(2)当和具有相异的增减性时，我们假设为增函数，为减函数，那么：

①的增减性不能确定；

②、、为增函数，为减函数。

4.奇偶函数的单调性

奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。

二、函数的对称性

函数的对称性是函数的一个根本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分表达数学之美。

1.函数的图象的对称性〔自身〕:

定理1:函数的图象关于直对称

特殊的有：

①函数的图象关于直线对称。

②函数的图象关于轴对称〔奇函数〕。

③函数是偶函数关于对称。

定理2：函数的图象关于点对称

特殊的有：

函数的图象关于点对称。

函数的图象关于原点对称〔奇函数〕。

函数是奇函数关于点对称。

定理3：〔性质〕

①假设函数y=f(x)的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。

②假设函数y=f(x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。

③假设函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称〔a≠b〕，那么y=f(x)是周期函数，且2|a－b|是其一个周期。

④假设一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称。

2.两个函数图象的对称性:

①函数与函数的图象关于直线(即轴)对称.

②函数与函数的图象关于直线对称.

特殊地:与函数的图象关于直线对称

③函数的图象关于直线对称的解析式为

④函数的图象关于点对称的解析式为

⑤函数y=f(x)与a－x=f(a－y)的图像关于直线x+y=a成轴对称。

函数y=f(x)与x－a=f(y+a)的图像关于直线x－y=a成轴对称。

函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。

3．奇偶函数性质

对于两个具有奇偶性的函数和，假设它们的定义域分别为和，且：

〔1〕满足定义式子〔偶〕〔奇〕

〔2〕在原点有定义的奇函数有

(3)当和具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么：

①函数、也为奇函数；

简单地说：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数，

偶函数×偶函数=偶函数，

奇函数×偶函数=奇函数.②、

简单地说：

奇函数±奇函数=奇函数，

偶函数±偶函数=偶函数，

奇函数×奇函数=偶函数，

偶函数×偶函数=偶函数，

奇函数×偶函数=奇函数.

③两个偶函数之和、差、积、商为偶函数

(4)当和具有相异的奇偶性时，那么：

①、的奇偶性不能确定；

②、、为奇函数。

〔6〕任意函数均可表示成一个奇函数与一个偶函数的和。

〔7〕一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数

〔8〕图形的对称性关于轴对称的函数〔偶函数〕关于原点对称的函数〔奇函数〕

〔9〕假设是偶函数，那么必有

假设是奇函数，那么必有

〔10〕假设为偶函数，那么必有

假设是奇函数，那么必有

〔11〕常见的奇偶函数

三、函数的周期性

函数的周期性反映了函数的重复性，在试题中它的主要用途是将大值化小，负值化正，求值。

1.周期性的定义

对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有都成立，那么就把函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数是函数的周期，那么、〔〕也是函数的周期。

2.函数的周期性的主要结论：

结论1：如果〔〕，那么是周期函数，其中一个周期

结论2：如果〔〕，那么是周期函数，其中一个周期

结论3：如果定义在上的函数有两条对称轴、对称，那