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第10讲对数与对数函数
知识梳理
1、对数式的运算
(1)对数的定义:一般地,如果且,那么数叫做以为底的对数,记作,读作以为底的对数,其中叫做对数的底数,叫做真数.
(2)常见对数:
①一般对数:以且为底,记为,读作以为底的对数;
②常用对数:以为底,记为;
③自然对数:以为底,记为;
(3)对数的性质和运算法则:
①;;其中且;
②(其中且,);
③对数换底公式:;
④;
⑤;
⑥,;
⑦和;
⑧;
2、对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义:函数且叫做对数函数.
对数函数的图象
图象
性质
定义域:
值域:
过定点,即时,
在上增函数
在上是减函数
当时,,当时,
当时,,当时,
【解题方法总结】
1、对数函数常用技巧
在同一坐标系内,当时,随的增大,对数函数的图象愈靠近轴;当时,对数函数的图象随的增大而远离轴.(见下图)
必考题型全归纳
题型一:对数运算及对数方程、对数不等式
【例1】(2024·四川成都·成都七中校考模拟预测)______.
【答案】
【解析】.
故答案为:
【对点训练1】(2024·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测)已知,,则______.
【答案】/
【解析】由题设,则且,
所以,即,故.
故答案为:
【对点训练2】(2024·上海徐汇·位育中学校考模拟预测)方程的解集为________.
【答案】
【解析】因为,
则,解得,
所以方程的解集为.
故答案为:
【对点训练3】(2024·山东淄博·统考二模)设,满足,则__________.
【答案】/0.5
【解析】令,则,
所以,整理得,
解得(负值舍去),所以.
故答案为:.
【对点训练4】(2024·天津南开·统考二模)计算的值为______.
【答案】8
【解析】原式
.
故答案为:8.
【对点训练5】(2024·全国·高三专题练习)若,,用a,b表示____________
【答案】
【解析】因为,所以,
.
故答案为:.
【对点训练6】(2024·上海·高三校联考阶段练习)若,且,则__________.
【答案】
【解析】,且,
且,
,
,
,
.
故答案为:.
【对点训练7】(2024·全国·高三专题练习)=____________;
【答案】
【解析】原式
.
故答案为:.
【对点训练8】(2024·全国·高三专题练习)解关于x的不等式解集为_____.
【答案】
【解析】不等式,
解,即,有,解得,
解,即,化为,有,解得,
因此,
所以不等式解集为.
故答案为:
【对点训练9】(2024·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试)已知函数是定义在上的奇函数,当时,,则的解集是__________.
【答案】
【解析】当时,,所以,
因为函数是定义在R上的奇函数,所以,
所以当时,,
所以,
要解不等式,只需或或,
解得或或,
综上,不等式的解集为.
故答案为:.
【对点训练10】(2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习)方程的解为_________.
【答案】
【解析】设函数,,由于函数在上均为增函数,
又,故方程的解为.
故答案为:.
【解题方法总结】
对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底,利用对数单调性去掉对数符号,转化为不含对数的问题,但这里必须注意对数的真数为正.
题型二:对数函数的图像
【例2】(2024·全国·高三专题练习)已知函数(a,b为常数,其中且)的图象如图所示,则下列结论正确的是(????)
A., B.,
C., D.,
【答案】D
【解析】由图象可得函数在定义域上单调递增,
所以,排除A,C;
又因为函数过点,
所以,解得.
故选:D
【对点训练11】(2024·全国·高三专题练习)函数的图象恒过定点(????)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时,即函数图象恒过.
故选:A
【对点训练12】(2024·北京·统考模拟预测)已知函数,则不等式的解集为(????)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意,不等式,即,
等价于在上的解,
令,,则不等式为,
在同一坐标系下作出两个函数的图象,如图所示,
可得不等式的解集为,
故选:B
【对点训练13】(2024·北京·高三统考学业考试)将函数的图象向上平移1个单位长度,得到函数的图象,则(????)
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】将函数的图象向上平移1个单位长度,得到函数.
故选:B.
【对点训练14】(2024·北京海淀·清华附中校考模拟预测)不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】由,
在同一直角坐标系
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