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4.2.2指数函数的图象和性质
1.理解指数函数的图象与性质,能运用指数函数的图象
和性质解决有关数学问题
类比研究幂函数性质的过程和方法,研究指数函数.在同一坐标系下画出函数的图象进行比较,它们有什么关系?知识点:指数函数的图象和性质-2-1.5-1-0.500.511.52
由此可知:底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称.函数图象上任意一点P(x,y)关于y轴的对称点P1(-x,y)都在函数的图象上.根据这种对称性,可以利用一个函数的图象,画另一个函数的图象.P1P
思考:取底数a为,在同一直角坐标系内画出相应的指数函数图象,观察图象并概括出指数函数y=ax(a0,且a≠1)的性质.0a1a1图象定义域值域性质特点??过点(0,1)即x=0时,y=1减函数增函数y轴右侧的图象,底数越大图象越高(底大图高)图象下端与x轴无限接近,但永不相交都是下凸的函数
例1比较下列各题中两个值的大小:解:(1)可看作函数当x分别取2.5和3时所对应的两个函数值.因为底数所以函数是增函数.由所以(2)同(1)理,因为所以函数是减函数.由所以(1)(2)(3)
例1比较下列各题中两个值的大小:(1)(2)(3)(3)由指数函数的性质知:所以分析:1.70.3和0.93.1不能看作某一个指数函数的两个函数值.可以利用函数y=1.7x和y=0.9x的单调性,以及“x=0时,y=1”这条性质把它们联系起来.
总结归纳比较幂(函数值)的大小的方法1.单调性法:同底数幂比较大小时构造指数函数,根据其单调性比较;2.图象法:指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象,当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小;3.中间值法:底数、指数都不相同时,取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较,或借助“1”与两数比较;4.分类讨论法:当底数含参数时,要按底数a1和0a1两种情况分类讨论.
练一练比较下列各题中两个值的大小:(1)(2)(3)解:(1)指数函数在y轴右侧的图象,底数越大图象越高,由所以(2)因为所以函数是减函数.由所以(3)因为所以函数是减函数,是增函数.所以
例2如图,某城市人口呈指数增长.(1)根据图象,估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期);(2)该城市人口从80万人开始,经过20年会增长到多少万人?分析:(1)因为该城市人口呈指数增长,而同一指数函数的倍增期是相同的,所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期.(2)要计算20年后的人口数,关键是要找到20年与倍增期的数量关系.
例2如图,某城市人口呈指数增长.(1)根据图象,估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期);(2)该城市人口从80万人开始,经过20年会增长到多少万人?解:(1)该城市人口经过20年约为10万人,经过40年约为20万人,即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年,所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.(2)因为倍增期为20年,所以每经过20年,人口将翻一番.因此,从80万人开始,经过20年,该城市人口大约会增长到160万人.
练一练体内癌细胞初期增加得很缓慢,但到了晚期就急剧增加,画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.解:经时间x,癌细胞数量为y,图象如图,yOx
根据今天所学,回答下列问题:1.写出一个指数函数的解析式,说明底数、增长比例和初始量的值,画出该函数的草图,并说明其单调性.
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