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材料力学数值方法：有限元法(FEM)在流体力学中的应用

1绪论

1.1有限元法的基本概念

有限元法（FiniteElementMethod,FEM）是一种数值计算方法，用于求解

复杂的工程问题，如结构力学、热传导、流体力学等。它将连续的物理域离散

化为有限数量的、形状规则的子域，即“有限元”。每个子域内的物理量（如位

移、压力、温度等）用多项式函数近似表示，通过在每个子域内应用物理定律

（如牛顿第二定律、连续性方程等），并结合边界条件，可以建立整个物理域的

数学模型。最终，通过求解这些数学模型，可以得到物理量的近似解。

1.1.1示例：一维杆的有限元分析

假设有一根长度为1米的均匀杆，两端固定，受到均匀分布的横向力作用。

杆的弹性模量为200GPa，截面积为0.01平方米。我们使用有限元法来计算杆

的变形。

#导入必要的库

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

#材料属性和几何参数

E=200e9#弹性模量，单位：Pa

A=0.01#截面积，单位：m^2

L=1.0#杆的长度，单位：m

F=1000#分布力的大小，单位：N/m

#离散化参数

n_elements=10#元素数量

n_nodes=n_elements+1#节点数量

#计算每个元素的长度

element_length=L/n_elements

#计算刚度矩阵

k=(E*A)/element_length

#创建全局刚度矩阵

K=diags([np.ones(n_nodes-1)*k,-np.ones(n_nodes)*k,np.ones(n_nodes-1)*k],[-1,0,1],shape=

1

(n_nodes,n_nodes)).toarray()

#应用边界条件

K[0,:]=0

K[-1,:]=0

K[:,0]=0

K[:,-1]=0

K[0,0]=1

K[-1,-1]=1

#创建载荷向量

F_vec=np.zeros(n_nodes)

F_vec[1:-1]=F*element_length

#求解位移向量

U=spsolve(K,F_vec)

#输出位移向量

print(节点位移向量：,U)

1.2流体力学与有限元法的结合

流体力学研究流体（液体和气体）的运动和静止状态，以及流体与固体边

界之间的相互作用。在流体力学中，有限元法被广泛应用于求解流体动力学方

程，如纳维-斯托克斯方程，以及流体-结构相互作用问题。通过将流体域离散

化为有限元，可以更精确地模拟流体的流动特性，如涡旋、边界层、流体压力

分布等。

1.2.1示例：二维流体流动的有限元分析

考虑一个二维矩形区域内的流体流动，边界条件为一侧为入口，流体以恒

定速度流入；另一侧为出口，流体自由流出；其余两侧为固体壁面，流体速度

为零。我们使用有限元法来求解流体的速度和压力分布。

#导入必要的库

importnumpyasnp

fromscipy.sparseimportdiags

fromscipy.sparse.linalgimportspsolve

importmatplotlib.pyplotasplt

#几何参数

Lx=1.0#x方向的长度

Ly=0.5#y方向的长度

#离散化参数

2

nx=20#x方向的网格数量

ny=10#y方向的网格数量

#流体属性

rho=1.0#密度，单位：kg/m^3

mu=0.01#动力粘度，单位：Pa*s

#计算网格尺寸

dx=Lx/nx

dy=Ly/ny

#创建节点坐标

x=np.linspace(0,Lx,nx+1)

y=np.linspace(0,Ly,ny+1)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

#创建速度和压力的初始值

U=np.zeros((ny+1,nx+1))

V=np.zeros((ny+1,nx+