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闲聊黎曼几何

古希腊大数学家欧几里德所的《几何原本》可以说是世界上最著

名、流传

最广的数学著作了。《几何原本》系统地总结了古代劳动人民和

学者们在实践

和思考中获得的几何知识，并把人们公认的一些事实列成定义和

公理，建立了

从公理、定义出发，来论证命题得到定理的几何学论证方法。

《几何原本》是欧式几何的奠基之作。早期的几何学是人们关于长度、

角度、面积和体积的经验总结，它来源于人们对所生活的空间结构的

认识。那么，这里有一个有趣的问题是：动物也会总结出关于长度、

角度、面积和体积的“几何学”吗？

让我们以深海鱼类为例，看一下它们所生活的空间结构吧。假定

你就是一

头鲸鱼。在深邃的大洋里光线不是很有用，因为水中很暗。所以

你主要靠声音

来感受外界、与外界交流。在你的世界中，两点之间的最短距离

将是声波走过

的路径。对于你来说，这就相当于一条直线。这一点就是问题的

关键。声音在大洋中的传播速度并非时时处处相等。在某一深度（大

约2000英尺或600米）以下，它的传播速度跟与水面的距离成正比。

所以声波传播的路径并非直线而是曲线。如果让一束从鲸鱼A传给鲸

鱼B的声波先向下利用较深处的较高传播速度，然后再向上，这样到

达鲸鱼B所需要的时间就会短些。实际上我们可以更准确地描述这些

曲线的性质：它们是圆心在洋面的圆弧！所以，对于鲸鱼来说，人类

称之为“圆”的东西实际上是直线（两点之间的最短距离）。

在鲸鱼的几何里会出现一些令我们惊讶的事物，但它们完全不会

让鲸鱼吃

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惊。三角形三个内角之和小于180度。那里没有长方形（四个角

都是直角的四边形），但有直角五边形。最重要的是，在鲸鱼几何中

曲率是负值。这就是说，最初平行的直线之间的距离会越来越大。这

些现象都超出了欧几里德几何的范围，需要黎曼几何来解释。

古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》中有五条公理。这五

条公里中有一条公理与众不同，远比其他的公理复杂，这就是著名的

平行公理。正是数学家们对这一公理的怀疑，产生了著名的黎曼几何。

平行公理：如果一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小

于两直角和，那么这两条直线在不断延伸后，会在内角和小于两直角

和的一侧相交。

19世纪上半叶，有三位数学家分别独立地、大胆地提出对平行公

理的设想：

或许在平行公理不成立的条件下也会存在有效的几何学。这将创

建一种非欧几

何，这种几何将公然违反欧几里得在两千余年前设定的平行公理。

就像哈密尔

顿给出的不遵守交换律的代数一样，非欧几何的想法同样离经叛

道。要否定平

行公理或许需要更大的勇气，因为欧几里得、康德……以及两千多

年来积淀的

悠远传统都是这条公理的坚强后盾。

这三位革命者中的第一个是最负盛名的数学家高斯，他在19世纪

初开始试

图证明平行公理。但大约在1820年，他似乎逐渐确认，或许可以

另外建立一种

非欧几何。然而他从来没有发表过他的想法，而只是在通信中模

糊地对人有过

暗示。有关他这样做的原因的最好证据可以在他1829年写给他的

朋友贝塞尔的

一封信中找到。他在信中说，如果他发表了这一证明，他担心有

闲